ಉದಾಹರಣೆ 1: 4ⁿ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. n ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ 4ⁿ ಎಂಬುದು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: 6 ಮತ್ತು 20ರ ಲ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ ವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: 96 ಮತ್ತು 404 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ ವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: 6, 72 ಮತ್ತು 120 ಇವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ: (i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

2. ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿರುವ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದು, ಲ.ಸಾ.ಅ × ಮ.ಸಾ.ಅ = ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ ಎಂಬುದನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ: (i) 26 ಮತ್ತು 91 (ii) 510 ಮತ್ತು 92 (iii) 336 ಮತ್ತು 54

3. ಕೆಳಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ ಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ: (i) 12, 15 ಮತ್ತು 21 (ii) 17, 23 ಮತ್ತು 29 (iii) 8, 9 ಮತ್ತು 25

4. ಮ.ಸಾ.ಅ (306, 657) = 9 ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ ವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. n ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ 6ⁿ ಇದು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

6. 7 × 11 × 13 + 13 ಮತ್ತು 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 ಇವು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಏಕೆ? ವಿವರಿಸಿ.

7. ಒಂದು ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಸೋನಿಯಾಳು ಆ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದ ಒಂದು ಸುತ್ತನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು 18 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ರವಿಯು ಅದೇ ಸುತ್ತನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು 12 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಒಂದೊಮ್ಮೆ ಅವರಿಬ್ಬರೂ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಸಿ, ಏಕಮುಖವಾಗಿ ಚಲಿಸಿದರೆ, ಎಷ್ಟು ನಿಮಿಷಗಳ ನಂತರ ಅವರು ಪುನಃ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 5: √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6: 5 - √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7: 3√2 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

1. √5 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. 3 + 2√5 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

3. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ: (i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿ.

2. HCF(a, b) = 1 ಆದರೆ, a ಮತ್ತು b ಗಳನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

3. 96 ಮತ್ತು 404 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (HCF) ಎಷ್ಟು?

4. ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲ.ಸಾ.ಅ (LCM) ಏನಾಗಿರುತ್ತದೆ?

5. 7 × 11 × 13 + 13 ಇದು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?

6. √p ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಲು p ಎಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು?

7. 5005 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

8. a = x³y² ಮತ್ತು b = xy³ (x, y ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು) ಆದರೆ HCF(a, b) ಎಷ್ಟು?

9. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 100 ಮತ್ತು ಅವುಗಳ HCF 5 ಆದರೆ LCM ಎಷ್ಟು?

10. 156 ನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.

1. 72 ಮತ್ತು 120 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ (HCF) ವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. 510 ಮತ್ತು 92 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಮ.ಸಾ.ಅ (306, 657) = 9 ಆದರೆ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. 336 ಮತ್ತು 54 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. 4ⁿ ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

6. 12, 15 ಮತ್ತು 21 ರ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7. √2 + 3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ (√2 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕೊಟ್ಟಿದ್ದರೆ).

8. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ HCF 23 ಮತ್ತು LCM 1449. ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ 161 ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಯಾವುದು?

9. 140 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

10. p ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ √p ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

1. √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. 5 - √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

3. ಒಂದು ಕ್ರೀಡಾಂಗಣದ ಸುತ್ತಲೂ ರವಿ 12 ನಿಮಿಷ ಮತ್ತು ಸೋನಿಯಾ 18 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಯಾವಾಗ ಭೇಟಿಯಾಗುತ್ತಾರೆ?

4. 378, 180 ಮತ್ತು 420 ರ HCF ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. √2 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

6. 1/√2 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

7. ಬೆಳಗ್ಗಿನ ನಡಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಮೂವರು ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ಅವರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳ ಅಳತೆ 40 cm, 42 cm ಮತ್ತು 45 cm. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಪೂರ್ಣ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು, ಕ್ರಮಿಸಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ದೂರ ಎಷ್ಟು?

8. ಎರಡು ಟ್ಯಾಂಕರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ 850 ಲೀಟರ್ ಮತ್ತು 680 ಲೀಟರ್ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಇದೆ. ಎರಡೂ ಟ್ಯಾಂಕರ್‌ನ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಲ್ಲ ಧಾರಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. 3 + √5 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

10. 2√3 - 1 ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

1. √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ, 5 + 2√3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

2. ಮೂರು ಗಂಟೆಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 9, 12, 15 ನಿಮಿಷಗಳ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಬಾರಿಸುತ್ತವೆ. ಬೆಳಿಗ್ಗೆ 8 ಗಂಟೆಗೆ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬಾರಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತೆ ಯಾವಾಗ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬಾರಿಸುತ್ತವೆ?

3. ಒಂದು ಸಿಹಿತಿಂಡಿ ವ್ಯಾಪಾರಿಯ ಬಳಿ 420 ಕಾಜು ಬರ್ಫಿ ಮತ್ತು 130 ಬಾದಾಮಿ ಬರ್ಫಿಗಳಿವೆ. ಅವನು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬೇಕಿದೆ ಮತ್ತು ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಜಾಗವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಬೇಕಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಇಡಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಬರ್ಫಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

4. √2 + √3 ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

5. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಮತ್ತು 2310 ನ್ನು ಅಪವರ್ತನ ವೃಕ್ಷ (Factor Tree) ಬಳಸಿ ಅಪವರ್ತಿಸಿ.

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

2. "ವೈರುಧ್ಯ ವಿಧಾನ" (Proof by Contradiction) ಎಂದರೆ ಏನು? √2 ರ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.

3. ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣದಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

4. ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ HCF ಮತ್ತು LCM ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

5. "ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" (Composite Numbers) ಎಂದರೇನು? 7 × 11 × 13 + 13 ಏಕೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿ.