Notes

ವಿಭಾಗ 1: ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯ, ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

1. ಪೀಠಿಕೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ:

• ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Real Numbers) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Rational Numbers): $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇಲ್ಲಿ $q \neq 0$. (ಉದಾ: $\frac{}{}$ ದಶಮಾಂಶವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ).
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (Irrational Numbers): $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. (ಉದಾ: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi$, ಇದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ).

2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ:

• ಹೇಳಿಕೆ: 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಏಕೈಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮ ಬದಲಾದರೂ ಅಪವರ್ತನ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ).
• ಉದಾಹರಣೆ: $32760 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$.

3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ (Prime Factorization):

• ಉದಾಹರಣೆ 1: $140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2^2 \times 5 \times 7$.

ವಿಭಾಗ 2: ಮ.ಸಾ.ಅ (HCF), ಲ.ಸಾ.ಅ (LCM) ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಸಂಬಂಧ (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

4. ಮ.ಸಾ.ಅ (HCF - ಹತ್ತಿರದ ಕನಿಷ್ಠ ಅಪವರ್ತನ):

• ನಿಯಮ: ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ. (ಅತ್ಯಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನಿಶೇಷ ಭಾಗಾಕಾರ).
• ಉದಾಹರಣೆ: 6 ($2 \times 3$) ಮತ್ತು 20 ($2^2 \times 5$) → ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ 2 (ಕನಿಷ್ಠ ಘಾತ $2^1$). ಆದ್ದರಿಂದ ಮ.ಸಾ.ಅ = .

5. ಲ.ಸಾ.ಅ (LCM - ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಪವರ್ತ್ಯ):

• ನಿಯಮ: ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ.
• ಉದಾಹರಣೆ: 6 ($2 \times 3$) ಮತ್ತು 20 ($2^2 \times 5$) → ಲ.ಸಾ.ಅ = $2^2 \times 3 \times 5 = 60$.

6. ಮುಖ್ಯ ಸಂಬಂಧ (ಮ.ಸಾ.ಅ ಮತ್ತು ಲ.ಸಾ.ಅ ನಡುವೆ): ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ (a ಮತ್ತು b): $\text{ಮ.ಸಾ.ಅ}(a,b) \times \text{ಲ.ಸಾ.ಅ}(a,b) = a \times b$

• ಸಾಧನೆ (6 ಮತ್ತು 20 ಕ್ಕೆ): ಮ.ಸಾ.ಅ = 2, ಲ.ಸಾ.ಅ = 60. ಅಂದರೆ $2 \times 60 = 120$. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ $6 \times 20 = 120$. (ಸಂಬಂಧ ಸರಿ).

ವಿಭಾಗ 3: ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಧನೆ (ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು)

7. ಪ್ರಮೇಯ 1.2:

• ಹೇಳಿಕೆ: ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ $p$, $a^2$ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ $p$, $a$ ಅನ್ನು ಸಹ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. (ಉದಾಹರಣೆ: $2 \mid a^2 \implies 2 \mid a$).

8. $\sqrt{2}$ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸುವುದು (ವಿರೋಧಾಭಾಸ ವಿಧಾನ):

• ಅನುಮಾನಿಸೋಣ $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ (a,b ಸಹಾಭಾಜ್ಯ, b 0).

ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (Score Booster)

ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು?
• ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
• $HCF \times LCM =$ ?
• $\pi$ (ಪೈ) ಭಾಗಲಬ್ಧವೋ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೋ?

ಎರಡು & ಮೂರು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• 140 ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.
• 96 ಮತ್ತು 404 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ ಹಾಗೂ ಲ.ಸಾ.ಅ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
• $HCF \times LCM = a \times b$ ಎಂಬುದನ್ನು $6$ ಮತ್ತು $20$ ರ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.

ಐದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

• ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಮತ್ತು 3825 ನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ.
• ವಿರೋಧಾಭಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ $\sqrt{2}$ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.
• ವಿರೋಧಾಭಾಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ $\sqrt{3}$ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ನೆನಪಿನ ಸಾರಾಂಶ ಮತ್ತು ಸ್ಮರಣೀಯ ಸೂತ್ರ:

• ಮುಖ್ಯ ಸೂತ್ರ: $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$
• HCF = ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ.
• LCM = ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಘಾತಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ.
• ಭಾಗಲಬ್ಧ ದಶಮಾಂಶ: ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ (Terminating) ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಕ (Recurring).
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ದಶಮಾಂಶ: ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಅಪುನರಾವರ್ತಕ (Non-terminating & non-recurring).