ಪರಿಹಾರ: ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ p(x) = 3x3 - 5x2 - 11x - 3. ಇಲ್ಲಿ a=3, b=-5, c=-11, d=-3. 1. ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಪರೀಕ್ಷೆ: • p(3) = 3(3)3 - 5(3)2 - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0. • p(-1) = 3(-1)3 - 5(-1)2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0. • p(-1/3) = 3(-1/3)3 - 5(-1/3)2 - 11(-1/3) - 3 = 3(-1/27) - 5(1/9) + 11/3 - 3 = -1/9 - 5/9 + 33/9 - 27/9 = (-1 -5 + 33 - 27)/9 = 0/9 = 0. ∴ ಇವು ಶೂನ್ಯತೆಗಳಾಗಿವೆ. α=3, β=-1, γ=-1/3. 2. ಸಂಬಂಧ ತಾಳೆ: • ಮೊತ್ತ (α+β+γ) = 3 - 1 - 1/3 = 2 - 1/3 = 5/3. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-5)/3 = 5/3. (ಸರಿಹೊಂದಿದೆ) • ಎರಡೆರಡು ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳ ಮೊತ್ತ (αβ+βγ+γα): = 3(-1) + (-1)(-1/3) + (-1/3)(3) = -3 + 1/3 - 1 = -4 + 1/3 = -11/3. ಸೂತ್ರ: c/a = -11/3. (ಸರಿಹೊಂದಿದೆ) • ಗುಣಲಬ್ಧ (αβγ) = 3 × (-1) × (-1/3) = 1. ಸೂತ್ರ: -d/a = -(-3)/3 = 3/3 = 1. (ಸರಿಹೊಂದಿದೆ)

ಉತ್ತರಗಳು (ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ): (i) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 0. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ). (ii) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 1. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 1 ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ). (iii) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 3. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ). (iv) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 2. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 2 ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ). (v) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 4. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 4 ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ). (vi) ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = 3. (ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 3 ಬಾರಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ/ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ).

ಪರಿಹಾರ: • ಅಪವರ್ತನ: x2 - 4x + 2x - 8 = x(x - 4) + 2(x - 4) = (x - 4)(x + 2). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: x = 4, x = -2. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: 4 + (-2) = 2. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-2)/1 = 2. (ಸರಿ) ಗುಣಲಬ್ಧ: 4(-2) = -8. ಸೂತ್ರ: c/a = -8/1 = -8. (ಸರಿ)

ಪರಿಹಾರ: • ಅಪವರ್ತನ: 4s2 - 2s - 2s + 1 = 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) = (2s - 1)(2s - 1). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: s = 1/2, s = 1/2. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: 1/2 + 1/2 = 1. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-4)/4 = 1. (ಸರಿ) ಗುಣಲಬ್ಧ: (1/2)(1/2) = 1/4. ಸೂತ್ರ: c/a = 1/4. (ಸರಿ)

ಪರಿಹಾರ: • ಅಪವರ್ತನ: 4u(u + 2). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: u = 0, u = -2. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: 0 + (-2) = -2. ಸೂತ್ರ: -b/a = -8/4 = -2. (ಸರಿ) ಗುಣಲಬ್ಧ: 0(-2) = 0. ಸೂತ್ರ: c/a = 0/4 = 0. (ಸರಿ)

ಪರಿಹಾರ: • ಅಪವರ್ತನ: 3x2 - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (x + 1)(3x - 4). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: x = -1, x = 4/3. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: -1 + 4/3 = 1/3. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-1)/3 = 1/3. (ಸರಿ) ಗುಣಲಬ್ಧ: (-1)(4/3) = -4/3. ಸೂತ್ರ: c/a = -4/3. (ಸರಿ)

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರ: k[x2 - (ಮೊತ್ತ)x + ಗುಣಲಬ್ಧ] = x2 - (1/4)x + (-1) = x2 - x/4 - 1 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ: 4x2 - x - 4.

ಪರಿಹಾರ: = x2 - (√2)x + 1/3 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ: 3x2 - 3√2x + 1.

ಪರಿಹಾರ: = x2 - (0)x + √5 = x2 + √5.

ಪರಿಹಾರ: = x2 - (1)x + 1 = x2 - x + 1.

ಪರಿಹಾರ: = x2 - (-1/4)x + 1/4 = x2 + x/4 + 1/4 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ: 4x2 + x + 1.

ಪರಿಹಾರ: = x2 - (4)x + 1 = x2 - 4x + 1.

ಉತ್ತರ: x = -b/a

ಉತ್ತರ: n ಶೂನ್ಯತೆಗಳು.

ಉತ್ತರ: 3.

ಉತ್ತರ: ಪರವಲಯ (Parabola).

ಉತ್ತರ: 3.

ಉತ್ತರ: αβ = c/a.

ಉತ್ತರ: +3 ಮತ್ತು -3.

ಉತ್ತರ: -(-4)/1 = 4.

ಉತ್ತರ: ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (0, 0).

ಉತ್ತರ: 0.

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲಿ a=1, b=5, c=6. ಮೊತ್ತ = -b/a = -5/1 = -5. ಗುಣಲಬ್ಧ = c/a = 6/1 = 6.

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರ: x2 - (ಮೊತ್ತ)x + (ಗುಣಲಬ್ಧ) = x2 - 4x + 1.

ಪರಿಹಾರ: t2 - 7 = 0 ⇒ t2 = 7. ∴ t = ±√7. ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: √7, -√7.

ಪರಿಹಾರ: p(x) = 0 ⇒ 3x + 5 = 0. 3x = -5 ⇒ x = -5/3.

ಪರಿಹಾರ: p(2) = (2)2 - 2(2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8.

ಪರಿಹಾರ: x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೇ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು. ∴ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: -1 ಮತ್ತು 3.

ಪರಿಹಾರ: a=2, b=-8, c=6. ಗುಣಲಬ್ಧ = c/a = 6/2 = 3.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊತ್ತ = -2 + 3 = 1. ಗುಣಲಬ್ಧ = (-2)(3) = -6. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ: x2 - (1)x + (-6) = x2 - x - 6.

ಪರಿಹಾರ: ax2 + bx + c. ಇಲ್ಲಿ a, b, c ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು a ≠ 0.

ಪರಿಹಾರ: u(u + 4) = 0. ∴ u = 0 ಅಥವಾ u + 4 = 0 ⇒ u = -4.

ಪರಿಹಾರ: • x2 - 5x + 2x - 10 = x(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(x + 2). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: 5, -2. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: 5 + (-2) = 3. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-3)/1 = 3. ಗುಣಲಬ್ಧ: 5(-2) = -10. ಸೂತ್ರ: c/a = -10/1 = -10.

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರ: k[x2 - (α + β)x + αβ] = x2 - √2x - 3/2 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ: 2x2 - 2√2x - 3.

ಪರಿಹಾರ: 6x2 - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (3x + 1)(2x - 3). 3x = -1 ⇒ x = -1/3. 2x = 3 ⇒ x = 3/2. ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: -1/3 ಮತ್ತು 3/2.

ಪರಿಹಾರ: p(3) = 3(27) - 5(9) - 11(3) - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 0. p(-1) = 3(-1) - 5(1) - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = 0. p(-1/3) = 3(-1/27) - 5(1/9) + 11/3 - 3 = 0. ∴ ಇವು ಶೂನ್ಯತೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: x2 - 4x + x - 4 = 0. (x - 4)(x + 1) = 0. x = 4, x = -1. ಆದ್ದರಿಂದ ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು (4, 0) ಮತ್ತು (-1, 0) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರ: αβγ = -d/a. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ: 2x3 + x2 - 5x + 2. ಇಲ್ಲಿ a=2, b=1, c=-5, d=2. ∴ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = -2/2 = -1.

ಪರಿಹಾರ: (2s - 1)2 = 0. 2s - 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = 1/2. ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಸಮ: 1/2, 1/2.

ಪರಿಹಾರ: ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: +√15, -√15. ಮೊತ್ತ: √15 - √15 = 0. ಸೂತ್ರ: -0/1 = 0. ಗುಣಲಬ್ಧ: -15. ಸೂತ್ರ: -15/1 = -15.

ಪರಿಹಾರ: x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4). ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: -3, -4.

ಪರಿಹಾರ: x2 - (-1/4)x + 1/4 = x2 + x/4 + 1/4 = 4x2 + x + 1.

ಪರಿಹಾರ: 1. ಪರಿಶೀಲನೆ (Ex 5 ರಂತೆ): p(3)=0, p(-1)=0, p(-1/3)=0. 2. ಸಂಬಂಧಗಳ ತಾಳೆ: i) α + β + γ = 3 - 1 - 1/3 = 5/3. ಸೂತ್ರ: -b/a = -(-5)/3 = 5/3. (ಸರಿ) ii) αβ + βγ + γα = (3)(-1) + (-1)(-1/3) + (-1/3)(3) = -3 + 1/3 - 1 = -11/3. ಸೂತ್ರ: c/a = -11/3. (ಸರಿ) iii) αβγ = (3)(-1)(-1/3) = 1. ಸೂತ್ರ: -d/a = -(-3)/3 = 1. (ಸರಿ)

ಪರಿಹಾರ: • ಅಪವರ್ತನ: 2x2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1). • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: x = 1, x = 1/2. • ಸಂಬಂಧ: ಮೊತ್ತ: 1 + 0.5 = 1.5. ಸೂತ್ರ: -(-3)/2 = 1.5. ಗುಣಲಬ್ಧ: 1(0.5) = 0.5. ಸೂತ್ರ: 1/2 = 0.5. • ನಕ್ಷೆ: ಇದು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು (1, 0) ಮತ್ತು (0.5, 0) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: • ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ: x2 - √2x - 12. • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು (ಸೂತ್ರ ವಿಧಾನ): x = [-(-√2) ± √((-√2)2 - 4(1)(-12))] / 2 = [√2 ± √(2 + 48)] / 2 = [√2 ± √50] / 2 = [√2 ± 5√2] / 2. • α = (6√2)/2 = 3√2. • β = (-4√2)/2 = -2√2.

ಪರಿಹಾರ: • p(1) = 1 - 4 + 5 - 2 = 0. • p(2) = 8 - 16 + 10 - 2 = 0. • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: 1, 1, 2. • ತಾಳೆ: ಮೊತ್ತ: 1+1+2 = 4. ಸೂತ್ರ: -(-4)/1 = 4. ಗುಣಲಬ್ಧ: 1(1)(2) = 2. ಸೂತ್ರ: -(-2)/1 = 2. ಎರಡೆರಡು ಗುಣಲಬ್ಧ: 1(1) + 1(2) + 2(1) = 1+2+2 = 5. ಸೂತ್ರ: 5/1 = 5.

ಪರಿಹಾರ: 1. ರೇಖಾತ್ಮಕ: ax + b, ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: 1. 2. ವರ್ಗ: ax2 + bx + c, ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: 2. 3. ಘನ: ax3 + bx2 + cx + d, ಶೂನ್ಯತೆಗಳು: 3. (ಷರತ್ತು: ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆ a ≠ 0).

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • y = p(x) ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಎಳೆದಾಗ. • ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆಯೋ ಅಥವಾ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆಯೋ, ಆ ಬಿಂದುಗಳ x-ಬೆಲೆಗಳೇ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು. • ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು 1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. • ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪರವಲಯವಾಗಿದ್ದು ಗರಿಷ್ಠ 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: ax2 + bx + c. • ಶೂನ್ಯತೆಗಳು α, β ಆಗಿರಲಿ. • ಮೊತ್ತ: α + β = -b/a. • ಗುಣಲಬ್ಧ: αβ = c/a.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • 'n' ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಗರಿಷ್ಠ 'n' ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. • ಉದಾ: ಡಿಗ್ರಿ 1 ಕ್ಕೆ 1, ಡಿಗ್ರಿ 2 ಕ್ಕೆ 2, ಡಿಗ್ರಿ 3 ಕ್ಕೆ 3 ಶೂನ್ಯತೆಗಳು. • ಆದರೆ ಕೆಲವು ಬಾರಿ ವಾಸ್ತವ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • 2 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ: 2 ವಿಭಿನ್ನ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು. • 1 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ: 2 ಸಮನಾದ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು (1 ವಾಸ್ತವ ಶೂನ್ಯತೆ). • ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ: ಶೂನ್ಯತೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • α + β + γ = -b/a. • αβ + βγ + γα = c/a. • αβγ = -d/a.