(v) t2 - 15

(iii) 6x2 - 3 - 7x

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಕೆಳಗೆ ನೀಡಿದ ಚಿತ್ರ 2.9 ರಲ್ಲಿನ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಹ y = p(x) ದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇಲ್ಲಿ p(x) ಎಂಬುದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಕ್ಷೆಗೂ p(x) ದ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: x2 + 7x + 10 JA§ ªÀUÀð (ವರ್ಗ) ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಾಗೂ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಗುಣಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: x2 - 3 ಎಂಬ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಹಾಗೂ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಗುಣಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಹಾಗೂ ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ -3 ಮತ್ತು 2 ಆಗಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

GzÁºÀgÀuÉ 5: 3, -1 ªÀÄvÀÄÛ -1/3 EªÀÅ p(x) = 3x3 - 5x2 - 11x - 3 JA§ WÀ£À (ಘನ) §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼ÁVªÉAiÉÄÃ? ¥ÀjÃQë¹ ºÁUÀÆ ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃr.

1. y = p(x) zÀ £ÀPÉëUÀ¼À£ÀÄß PɼÀUÉ avÀæ 2.10gÀ°è ¤ÃrzÀÄÝ, E°è p(x) JA§ÄzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀiÁVzÉ. ¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°èAiÀÄÆ p(x) zÀ ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

1. F PɼÀV£À ªÀUÀð (ವರ್ಗ) §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ºÁUÀÆ ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃr: (i) x2 - 2x - 8

(ii) 4s2 - 4s + 1

(iv) 4u2 + 8u

(vi) 3x2 - x - 4

2. F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV ±ÀÆ£ÀåvÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛ ºÁUÀÆ UÀÄt®§ÞªÀ£ÁßV ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀUÀ𠧺ÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj: (i) 1/4, -1

(ii) √2, 1/3

(iii) 0, √5

(iv) 1, 1

(v) -1/4, 1/4

(vi) 4, 1

1. ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ax + b ನ ಶೂನ್ಯತೆ ಏನು?

2. 'n' ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎಷ್ಟು ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು?

3. p(x) = x3 - 5 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಡಿಗ್ರಿ ಎಷ್ಟು?

4. ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ನಕ್ಷೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ಏನೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ?

5. y = p(x) ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು 3 ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, p(x) ನ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು?

6. ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧದ ಸೂತ್ರವೇನು?

7. x2 - 9 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಯಾವುವು?

8. x2 - 4x + 4 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

9. x3 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ?

10. ಸ್ಥಿರ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (Constant Polynomial) p(x) = 5 ರ ಡಿಗ್ರಿ ಎಷ್ಟು?

1. x2 + 5x + 6 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ 4 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 1 ಆಗಿರುವ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ರಚಿಸಿ.

3. t2 - 7 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. 3x + 5 ರ ಶೂನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. p(x) = x2 - 2x - 8 ಆದರೆ p(2) ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರವಲಯವು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು (-1, 0) ಮತ್ತು (3, 0) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಯಾವುವು?

7. 2x2 - 8x + 6 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವೇನು?

8. ಶೂನ್ಯತೆಗಳು -2 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

9. ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆದು, a, b, c ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

10. u2 + 4u ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. x2 - 3x - 10 ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಹಗುಣಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

2. ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ √2 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ -3/2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. p(x) = 6x2 - 7x - 3 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. 3, -1, -1/3 ಇವು 3x3 - 5x2 - 11x - 3 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳೆಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

5. y = x2 - 3x - 4 ರ ನಕ್ಷೆಯು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ? (ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರಿಸಿ).

6. ಒಂದು ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು α, β, γ ಆಗಿದ್ದರೆ, αβγ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಹಗುಣಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು 2x3 + x2 - 5x + 2 ಕ್ಕೆ ಇದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ.

7. 4s2 - 4s + 1 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. x2 - 15 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಗುಣಕಗಳ ಸಂಬಂಧ ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

9. p(x) = x2 + 7x + 12 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ -1/4 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 1/4 ಆಗಿರುವ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಬರೆಯಿರಿ.

1. p(x) = 3x3 - 5x2 - 11x - 3 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು 3, -1 ಮತ್ತು -1/3 ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ನಂತರ ಸಹಗುಣಕಗಳ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಮೂರು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು (Sum, Sum of Product, Product) ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

2. 2x2 - 3x + 1 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ. ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ಇದು x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿ.

3. ಒಂದು ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ √2 ಮತ್ತು -12 ಆಗಿವೆ. ನಂತರ ಅದರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. x3 - 4x2 + 5x - 2 ರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು 1, 1, 2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತಾಳೆ ನೋಡಿ.

5. ರೇಖಾತ್ಮಕ, ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

1. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

2. ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಗುಣಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂತ್ರ ಸಹಿತ ವಿವರಿಸಿ.

3. ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಡಿಗ್ರಿ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

4. ಪರವಲಯಗಳು (Parabolas) x-ಅಕ್ಷವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

5. ಘನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.