ಉದಾಹರಣೆ 1: ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ. (i) ಜಾನ್ ಮತ್ತು ಜೀವಂತಿ ಇವರಿಬ್ಬರ ಬಳಿ ಇರುವ ಒಟ್ಟು ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 45 ಆಗಿದ. ಇವರಿಬ್ಬರೂ ತಲಾ 5 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡರೆ ಇವರ ಬಳಿ ಇರುವ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 124 ಆಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದರೆ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರ ಬಳಿ ಇದ್ದ ಗೋಲಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. (ii) ಒಂದು ಗುಡಿ ಕೈಗಾರಿಕೆಯು ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಟಿಕೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಆಟಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚವು (ರೂಪಾಯಿಗಳಲ್ಲಿ) 55 ರಿಂದ, ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆದಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿನದಲ್ಲಿ, ಆಟಿಕೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚವು ₹ 750 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆ ದಿನ ಉತ್ಪಾದಿಸಿದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.
ಪರಿಹಾರ: (i) • ಜಾನ್ ಬಳಿ ಇರುವ ಗೋಲಿಗಳು = x • ಜೀವಂತಿ ಬಳಿ ಇರುವ ಗೋಲಿಗಳು = 45 - x • 5 ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ: ಜಾನ್: x - 5 ಜೀವಂತಿ: 45 - x - 5 = 40 - x • ಅವುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ = 124 (x - 5)(40 - x) = 124 40x - x2 - 200 + 5x = 124 -x2 + 45x - 200 = 124 x2 - 45x + 324 = 0 • ಇದು ಬೇಕಾದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. (ii) • ಆ ದಿನ ತಯಾರಿಸಿದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ = x • ಪ್ರತಿ ಆಟಿಕೆಯ ಉತ್ಪಾದನಾ ವೆಚ್ಚ = 55 - x • ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚ = x(55 - x) • x(55 - x) = 750 55x - x2 = 750 x2 - 55x + 750 = 0 • ಇದು ಬೇಕಾದ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತ
ಉದಾಹರಣೆ 2: ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. (i) (x - 2)2 + 1 = 2x - 3 (ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2) (iii) x(2x + 3) = x2 + 1 (iv) (x + 2)3 = x3 - 4
ಪರಿಹಾರ: (i) (x - 2)2 + 1 = 2x - 3 x2 - 4x + 4 + 1 = 2x - 3 x2 - 4x + 5 - 2x + 3 = 0 x2 - 6x + 8 = 0 ಇದು ax2 + bx + c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ∴ ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ. (ii) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x - 2) x2 + x + 8 = x2 - 4 x + 12 = 0 ಇದು ax2 + bx + c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಡಿಗ್ರಿ 2 ಇಲ್ಲ). ∴ ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. (iii) x(2x + 3) = x2 + 1 2x2 + 3x = x2 + 1 x2 + 3x - 1 = 0 ಇದು ax2 + bx + c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ∴ ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ. (iv) (x + 2)3 = x3 - 4 x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 - 4 6x2 + 12x + 12 = 0 (ಅಥವಾ x2 + 2x + 2 = 0) ಇದು ax2 + bx + c = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ. ∴ ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣ.
ಗಣಿತ
ಉದಾಹರಣೆ 3: ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ 2x2 - 5x + 3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 6: ವಿಭಾಗ 4.1 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಪ್ರಾರ್ಥನಾ ಮಂದಿರದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಸಮೀಕರಣ: 2x2 + x - 300 = 0).
ಪರಿಹಾರ: • 2x2 - 24x + 25x - 300 = 0 2x(x - 12) + 25(x - 12) = 0 (x - 12)(2x + 25) = 0 • x = 12 ಅಥವಾ x = -25/2 • ಅಳತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x = 12. ∴ ಅಗಲ = 12 m. ಉದ್ದ = 2x + 1 = 2(12) + 1 = 25 m.
ಗಣಿತ
ಉದಾಹರಣೆ 7: 2x2 - 4x + 3 = 0 ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಶೋಧಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: • a = 2, b = -4, c = 3 • ಶೋಧಕ (Discriminant) = b2 - 4ac = (-4)2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 • ಶೋಧಕ < 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
ಉದಾಹರಣೆ 8: 13m ವ್ಯಾಸವುಳ್ಳ ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನದ ಅಂಚಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲೋಹದ ಕಂಬವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅದರ ಒಂದು ವ್ಯಾಸ AB ಯ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳಾದ A ಮತ್ತು B ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ದ್ವಾರಗಳಿವೆ. ಈ ದ್ವಾರಗಳಿಂದ ಆ ಲೋಹದ ಕಂಬಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 7m ಆಗಿರುವಂತೆ ಕಂಬವನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಕಂಬವು ಆ ಎರಡು ದ್ವಾರಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದೆ?
ಪರಿಹಾರ: • ಕಂಬದ ಸ್ಥಾನ P ಆಗಿರಲಿ. B ದ್ವಾರದಿಂದ ದೂರ x m ಆಗಿರಲಿ (BP = x). • ಆಗ A ದ್ವಾರದಿಂದ ದೂರ AP = x + 7. • ವ್ಯಾಸ AB = 13m. ತ್ರಿಭುಜ APB ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿನ ಕೋನ). • ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: AP2 + BP2 = AB2 (x + 7)2 + x2 = 132 x2 + 14x + 49 + x2 = 169 2x2 + 14x - 120 = 0 x2 + 7x - 60 = 0 • ಶೋಧಕ ಪರೀಕ್ಷೆ: b2 - 4ac = 72 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289 > 0. ∴ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. • ಮೂಲಗಳು: x = [-7 ± √289] / 2 = [-7 ± 17] / 2 x = 5 ಅಥವಾ x = -12. • ದೂರ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x = 5. ∴ B ದ್ವಾರದಿಂದ ದೂರ = 5 m. A ದ್ವಾರದಿಂದ ದೂರ = 5 + 7 = 12 m.
ಗಣಿತ
ಉದಾಹರಣೆ 9: 3x2 - 2x + 1/3 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಶೋಧಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಿ. ಅವು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: • a = 3, b = -2, c = 1/3 • ಶೋಧಕ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4(3)(1/3) = 4 - 4 = 0. • ಶೋಧಕ = 0, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಮನಾದ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿವೆ. • ಮೂಲಗಳು = -b / 2a = -(-2) / 2(3) = 2/6 = 1/3. ∴ ಮೂಲಗಳು: 1/3, 1/3.
ಗಣಿತ
1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.
ಗಣಿತ
(i) (x+1)2 = 2(x-3)
ಪರಿಹಾರ: x2 + 2x + 1 = 2x - 6 x2 + 7 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ (ಡಿಗ್ರಿ 2).
ಗಣಿತ
(ii) x2-2x = (-2)(3-x)
ಪರಿಹಾರ: x2 - 2x = -6 + 2x x2 - 4x + 6 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತ
(iii) (x-2)(x+1) = (x-1)(x+3)
ಪರಿಹಾರ: x2 + x - 2x - 2 = x2 + 3x - x - 3 x2 - x - 2 = x2 + 2x - 3 -3x + 1 = 0. ಇದು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ (ಡಿಗ್ರಿ 1). ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
(iv) (x-3)(2x+1) = x(x+5)
ಪರಿಹಾರ: 2x2 + x - 6x - 3 = x2 + 5x x2 - 10x - 3 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತ
(v) (2x-1)(x-3) = (x+5)(x-1)
ಪರಿಹಾರ: 2x2 - 6x - x + 3 = x2 - x + 5x - 5 2x2 - 7x + 3 = x2 + 4x - 5 x2 - 11x + 8 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತ
(vi) x2 + 3x + 1 = (x-2)2
ಪರಿಹಾರ: x2 + 3x + 1 = x2 - 4x + 4 7x - 3 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
(vii) (x+2)3 = 2x(x2-1)
ಪರಿಹಾರ: x3 + 6x2 + 12x + 8 = 2x3 - 2x -x3 + 6x2 + 14x + 8 = 0. ಇದು ಡಿಗ್ರಿ 3 ಹೊಂದಿದೆ (ಘನ ಸಮೀಕರಣ). ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
(viii) x3 - 4x2 - x + 1 = (x-2)3
ಪರಿಹಾರ: x3 - 4x2 - x + 1 = x3 - 6x2 + 12x - 8 2x2 - 13x + 9 = 0. ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತ
2. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. (i) ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿವೇಶನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು 528 m2 ಆಗಿದೆ. ನಿವೇಶನದ ಉದ್ದವು (ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ) ಅದರ ಅಗಲದ ಎರಡಷ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಆ ನಿವೇಶನದ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ: ಅಗಲ = x ಮೀಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಉದ್ದ = 2x + 1 ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = ಉದ್ದ × ಅಗಲ = x(2x + 1) = 528 2x2 + x - 528 = 0.
ಗಣಿತ
(ii) ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು 306 ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ = x ಎರಡನೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ = x + 1 ಗುಣಲಬ್ಧ = x(x + 1) = 306 x2 + x - 306 = 0.
ಗಣಿತ
(iii) ರೋಹನನ ತಾಯಿಯು ಅವನಿಗಿಂತ 26 ವರ್ಷ ದೊಡ್ಡವಳಾಗಿದ್ದಾಳೆ. 3 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅವರ ವಯಸ್ಸುಗಳ (ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ) ಗುಣಲಬ್ಧವು 360 ಆಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ರೋಹನನ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.
ಪರಿಹಾರ: ರೋಹನನ ಈಗಿನ ವಯಸ್ಸು = x ತಾಯಿಯ ವಯಸ್ಸು = x + 26 3 ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ: ರೋಹನ್ = x + 3, ತಾಯಿ = x + 29 (x + 3)(x + 29) = 360 x2 + 29x + 3x + 87 = 360 x2 + 32x - 273 = 0.
(iv) ಒಂದು ರೈಲು ಏಕರೂಪದ ಜವದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿ, 480km ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಜವವು 8km/h ಕಡಿಮೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಷ್ಟೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಲು ರೈಲು 3 ಗಂಟೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು. ನಾವು ರೈಲಿನ ಜವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ.
ಪರಿಹಾರ: ರೈಲಿನ ಜವ = x km/h ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ = 480/x ಜವ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ = x - 8, ಹೊಸ ಸಮಯ = 480/(x - 8) ವ್ಯತ್ಯಾಸ = 3 ಗಂಟೆಗಳು. 480/(x - 8) - 480/x = 3 480[x - (x - 8)] / [x(x - 8)] = 3 480(8) = 3x(x - 8) 1280 = x2 - 8x x2 - 8x - 1280 = 0.
ಗಣಿತ
1. ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: 16x2 - 8x + 1 = 0 (8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ) (4x - 1)2 = 0 x = 1/4, x = 1/4.
ಗಣಿತ
(v) 100x2 - 20x + 1 = 0
ಪರಿಹಾರ: (10x - 1)2 = 0 x = 1/10, x = 1/10.
ಗಣಿತ
2. ಉದಾಹರಣೆ 1ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: (i) x2 - 45x + 324 = 0 x2 - 36x - 9x + 324 = 0 (x - 36)(x - 9) = 0 x = 36 ಅಥವಾ x = 9. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅವರ ಬಳಿ 36 ಮತ್ತು 9 (ಅಥವಾ 9 ಮತ್ತು 36) ಗೋಲಿಗಳಿದ್ದವು. (ii) x2 - 55x + 750 = 0 x2 - 30x - 25x + 750 = 0 (x - 30)(x - 25) = 0 x = 30 ಅಥವಾ x = 25. ಆ ದಿನ ತಯಾರಿಸಿದ ಆಟಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 25 ಅಥವಾ 30.
ಗಣಿತ
3. ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 27 ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ 182 ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4. ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು 365 ಆದರೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x ಮತ್ತು x+1. x2 + (x + 1)2 = 365 2x2 + 2x + 1 = 365 2x2 + 2x - 364 = 0 x2 + x - 182 = 0 (x + 14)(x - 13) = 0 x ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, x = 13. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 13 ಮತ್ತು 14.
ಗಣಿತ
5. ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ಎತ್ತರವು ಅದರ ಪಾದಕ್ಕಿಂತ 7cm ಕಡಿಮೆ ಇದೆ. ಅದರ ವಿಕರ್ಣದ ಉದ್ದವು 13cm ಆದರೆ ಉಳಿದೆರಡು ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: ಪಾದ = x, ಎತ್ತರ = x - 7. x2 + (x - 7)2 = 132 x2 + x2 - 14x + 49 = 169 2x2 - 14x - 120 = 0 x2 - 7x - 60 = 0 (x - 12)(x + 5) = 0 x = 12 (ಉದ್ದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ). ಪಾದ = 12 cm, ಎತ್ತರ = 5 cm.
ಗಣಿತ
6. ಒಂದು ಗುಡಿ ಕೈಗಾರಿಕೆಯು ಒಂದು ದಿನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಡಿಕೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತದೆ... (ವೆಚ್ಚ = 2x + 3). ಒಟ್ಟು ವೆಚ್ಚ ₹ 90. ಮಡಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಡಿಕೆಯ ವೆಚ್ಚ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: b2 - 4ac = (-4√3)2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0. ಸಮನಾದ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿವೆ. x = -b/2a = 4√3 / 6 = 2√3/3.
ಗಣಿತ
(iii) 2x2 - 6x + 3 = 0
ಪರಿಹಾರ: b2 - 4ac = (-6)2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12 > 0. ಎರಡು ಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿವೆ. x = (6 ± √12) / 4 = (6 ± 2√3) / 4 = (3 ± √3) / 2.
ಗಣಿತ
2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮನಾದ ಎರಡು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ k ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಗಣಿತ
(ii) kx(x - 2) + 6 = 0
ಪರಿಹಾರ: kx2 - 2kx + 6 = 0. (-2k)2 - 4(k)(6) = 0 4k2 - 24k = 0 4k(k - 6) = 0 k = 0 ಅಥವಾ k = 6. (k=0 ಆದರೆ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ k=6).
ಗಣಿತ
3. 800m2 ವಿಸ್ತೀರ್ಣವುಳ್ಳ ಮತ್ತು ಉದ್ದವು ಅಗಲದ ಎರಡರಷ್ಟಿರುವ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಮಾವಿನ ತೋಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: ಅಗಲ = x, ಉದ್ದ = 2x. x(2x) = 800 ⇒ 2x2 = 800 ⇒ x2 = 400. x = 20. (ಸಾಧ್ಯವಿದೆ). ಅಗಲ = 20 m, ಉದ್ದ = 40 m.
ಗಣಿತ
4. ಕೆಳಗೆ ಸೂಚಿಸಿರುವಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶವಿರಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ... ಇಬ್ಬರು ಸ್ನೇಹಿತರ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಮೊತ್ತವು 20 ವರ್ಷಗಳಾಗಿವೆ. ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ, ಅವರ ವಯಸ್ಸುಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವು 48 ವರ್ಷಗಳಾಗಿತ್ತು.
ಪರಿಹಾರ: ಒಬ್ಬನ ವಯಸ್ಸು = x, ಇನ್ನೊಬ್ಬನ ವಯಸ್ಸು = 20 - x. 4 ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ: (x - 4) ಮತ್ತು (16 - x). (x - 4)(16 - x) = 48 16x - x2 - 64 + 4x = 48 -x2 + 20x - 112 = 0 x2 - 20x + 112 = 0. ಶೋಧಕ = (-20)2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48 < 0. ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸನ್ನಿವೇಶ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
5. ಸುತ್ತಳತೆ 80m ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 400m2 ಇರುವ ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಉದ್ಯಾನವನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ ಅದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: 2(l + b) = 80 ⇒ l + b = 40 ⇒ b = 40 - l. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = l(40 - l) = 400 40l - l2 = 400 l2 - 40l + 400 = 0 (l - 20)2 = 0 l = 20. ಉದ್ದ = 20 m, ಅಗಲ = 20 m. (ಇದು ವರ್ಗಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ವರ್ಗವೂ ಒಂದು ಆಯತವೇ). ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.
ಗಣಿತ
1. ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ಆದರ್ಶ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
ಗಣಿತ
2. ಶೋಧಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: Δ = b2 - 4ac.
ಗಣಿತ
3. x2 - 49 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳೇನು?
ಉತ್ತರ: x = ±7 (7, -7).
ಗಣಿತ
4. ಒಂದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವು ಗರಿಷ್ಠ ಎಷ್ಟು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು?
ಉತ್ತರ: 2.
ಗಣಿತ
5. b2 - 4ac = 0 ಆದರೆ ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವೇನು?
ಉತ್ತರ: ಎರಡು ಸಮನಾದ ವಾಸ್ತವ ಮೂಲಗಳು.
ಗಣಿತ
6. x(x - 5) = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಮೂಲ 0 ಆದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲ ಯಾವುದು?
ಉತ್ತರ: 5.
ಗಣಿತ
7. 2x2 - kx + 3 = 0 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ a, b, c ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಉತ್ತರ: a = 2, b = -k, c = 3.
ಗಣಿತ
8. ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಶೋಧಕದ ಬೆಲೆ ಹೇಗಿರುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರ: ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ (ಋಣಾತ್ಮಕ, < 0).
ಗಣಿತ
9. x + 1/x = 2 (x ≠ 0) ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವೇ?
ಉತ್ತರ: ಹೌದು (x2 - 2x + 1 = 0 ಆಗುತ್ತದೆ).
ಗಣಿತ
10. 3x2 = 0 ರ ಮೂಲಗಳಾವುವು?
ಉತ್ತರ: 0, 0.
ಗಣಿತ
1. x2 - 3x - 10 = 0 ಬಿಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: (x - 5)(x + 2) = 0 x = 5, x = -2.
ಗಣಿತ
2. 2x2 + x + 4 = 0 ರ ಶೋಧಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: b2 - 4ac = (1)2 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31.
ಗಣಿತ
3. k ನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ x2 + 4x + k = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಸಮನಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ?
ಪರಿಹಾರ: a=3, b=-5, c=2. x = [-(-5) ± √((-5)2 - 4(3)(2))] / (2*3) x = [5 ± √(25 - 24)] / 6 x = [5 ± 1] / 6 x = 1, x = 2/3.
ಗಣಿತ
2. ಒಂದು ರೈಲು 360 km ದೂರವನ್ನು ಏಕರೂಪ ಜವದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಜವ 5 km/h ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಪ್ರಯಾಣಕ್ಕೆ 1 ಗಂಟೆ ಕಡಿಮೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಿತ್ತು. ರೈಲಿನ ಜವ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
3. ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನದಿಂದ 2x2 - 7x + 3 = 0 ಬಿಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ: x2 - 7/2 x = -3/2 (7/4)2 ಕೂಡಿಸಿ: (x - 7/4)2 = -3/2 + 49/16 = 25/16 x - 7/4 = ±5/4 x = 3, x = 1/2.
ಗಣಿತ
4. ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳ ಮೊತ್ತ 12. ಛೇದವು ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ 3 ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: x + (x+3) = 12 ⇒ 2x = 9 ⇒ x = 4.5 (ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ). ಪ್ರಶ್ನೆ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ: ಅಂಶ x, ಛೇದ x+3. x(x+3)... (ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದ ಪ್ರಶ್ನೆ ಬೇಕು). ಪರ್ಯಾಯ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತ 10/3. x + 1/x = 10/3 ⇒ 3x2 - 10x + 3 = 0. (3x - 1)(x - 3) = 0. ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅಥವಾ 1/3.
ಗಣಿತ
5. ಎರಡು ನೀರಿನ ನಲ್ಲಿಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಒಂದು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು 9 3/8 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡ ವ್ಯಾಸದ ನಲ್ಲಿಯು ತೊಟ್ಟಿಯನ್ನು ತುಂಬಲು ಚಿಕ್ಕ ನಲ್ಲಿಗಿಂತ 10 ಗಂಟೆ ಕಡಿಮೆ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತುಂಬಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ: ಚಿಕ್ಕ ನಲ್ಲಿ x ಗಂಟೆ, ದೊಡ್ಡದು x-10. 1/x + 1/(x-10) = 8/75 ಸಾಧಿಸಿದಾಗ: 4x2 - 115x + 375 = 0. x = 25, x = 3.75 (ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ). ಸಮಯ: 25 ಗಂಟೆ ಮತ್ತು 15 ಗಂಟೆ.
ಗಣಿತ
6. ಒಂದು ಮೋಟಾರ್ ದೋಣಿಯು ಸ್ಥಿರ ನೀರಿನಲ್ಲಿ 18 km/h ಜವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಎದುರಾಗಿ 24 km ಚಲಿಸಲು, ಪ್ರವಾಹದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟೇ ದೂರ ಚಲಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯಕ್ಕಿಂತ 1 ಗಂಟೆ ಹೆಚ್ಚು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರವಾಹದ ಜವ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
1. ಒಂದು ವಿಮಾನವು 2800 km ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಬೇಕಿದೆ. ಅದರ ಸರಾಸರಿ ವೇಗವು 100 km/h ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯ 30 ನಿಮಿಷ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನದ ಮೂಲ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
2. ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಹಾರಕ್ಕೆಂದು ಒಟ್ಟು ₹ 2000 ಬಜೆಟ್ ಮಾಡಿದರು. 5 ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಬರದೇ ಹೋದರಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ವೆಚ್ಚ ₹ 20 ಹೆಚ್ಚಾಯಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಎಷ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೋದರು?
4. ಒಂದು ಕೊಳದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕಮಲದ ಹೂವು ನೀರಿನ ಮಟ್ಟದಿಂದ 2 ಅಡಿ ಮೇಲೆ ಇದೆ. ಬಲವಾಗಿ ಗಾಳಿ ಬೀಸಿದಾಗ ಹೂವು ಸರಿದು, ಮೂಲ ಸ್ಥಾನದಿಂದ 8 ಅಡಿ ದೂರದಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮುಟ್ಟಿತು. ಹಾಗಾದರೆ ಕೊಳದ ಆಳವೆಷ್ಟು?
ಪರಿಹಾರ: ಆಳ = d. ಕಮಲದ ಕಾಂಡದ ಉದ್ದ = d + 2. ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ: (d + 2)2 = d2 + 82 d2 + 4d + 4 = d2 + 64 4d = 60 d = 15 ಅಡಿ.
ಗಣಿತ
5. "A" ಯು ಒಂದು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು "B" ಗಿಂತ 6 ದಿನ ಕಡಿಮೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಸೇರಿ ಆ ಕೆಲಸವನ್ನು 4 ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಗಿಸಿದರೆ, "B" ಯು ಒಬ್ಬನೇ ಆ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಗಿಸಲು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಬೇಕು?
ಪರಿಹಾರ: B ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ x. A ಸಮಯ x - 6. 1/x + 1/(x-6) = 1/4 4(2x - 6) = x(x - 6) 8x - 24 = x2 - 6x x2 - 14x + 24 = 0 (x - 12)(x - 2) = 0 x = 12 (x=2 ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ A ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗುತ್ತದೆ). B ಗೆ 12 ದಿನಗಳು ಬೇಕು.
ಗಣಿತ
1. ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನ: ಮಧ್ಯಪದವನ್ನು ಒಡೆದು ಅಪವರ್ತಿಸುವುದು. • ವರ್ಗ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನ: ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ವರ್ಗವನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಬಿಡಿಸುವುದು. • ಸೂತ್ರದ ವಿಧಾನ: ಶ್ರೀಧರರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು.
ಗಣಿತ
2. ಶೋಧಕ ಎಂದರೇನು? ಅದು ಮೂಲಗಳ ಸ್ವಭಾವವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ?
ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • b2 - 4ac ಯನ್ನು ಶೋಧಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. • ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (>0) ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ. • ಅದು ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ (=0) ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವ ಮತ್ತು ಸಮ. • ಅದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ (<0) ಮೂಲಗಳು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ.
ಗಣಿತ
3. ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.
ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ಕಟ್ಟಡ ನಿರ್ಮಾಣ). • ವೇಗ, ದೂರ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ (ವಾಹನ ಸಂಚಾರ). • ವಯಸ್ಸಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು. • ಆರ್ಥಿಕ ವ್ಯವಹಾರಗಳು (ಲಾಭ-ನಷ್ಟ).
ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಅಪವರ್ತನ: (2x-3)(x-1)=0 ⇒ 3/2, 1. • ಸೂತ್ರ: (5 ± 1)/4 ⇒ 6/4, 4/4 ⇒ 3/2, 1. • ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ಒಂದೇ ಉತ್ತರ ನೀಡುತ್ತವೆ.
ಗಣಿತ
5. "ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ" ಮತ್ತು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.
ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ a2 + b2 = c2. • ಬಾಹುಗಳು ಚರಾಕ್ಷರವಾಗಿದ್ದಾಗ (ಉದಾ: x, x+1, x+2), ಇದು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. • ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದರಿಂದ ಬಾಹುಗಳ ಅಳತೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ.