ಪರಿಹಾರ: ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಬೆಲೆ = x, ರಬ್ಬರ್ ಬೆಲೆ = y. 1) 2x + 3y = 9 2) 4x + 6y = 18 (1) ರಿಂದ x = (9 - 3y)/2. (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ: 4[(9 - 3y)/2] + 6y = 18 2(9 - 3y) + 6y = 18 18 - 6y + 6y = 18 18 = 18. ಇದು ಸತ್ಯವಾದ ಹೇಳಿಕೆ. ಇದರರ್ಥ y ನ ಯಾವುದೇ ಬೆಲೆಗೆ ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದಕ್ಕೆ ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ (ರೇಖೆಗಳು ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ: 1) x + 2y - 4 = 0 => x = 4 - 2y 2) 2x + 4y - 12 = 0 (2) ರಲ್ಲಿ x ಬೆಲೆ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ: 2(4 - 2y) + 4y - 12 = 0 8 - 4y + 4y - 12 = 0 -4 = 0. ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆ (False statement). ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಹಳಿಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel) ಮತ್ತು ಒಂದನ್ನೊಂದು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ: ಆದಾಯಗಳು: 9x, 7x. ಖರ್ಚುಗಳು: 4y, 3y. ಉಳಿತಾಯ = ಆದಾಯ - ಖರ್ಚು. 1) 9x - 4y = 2000 2) 7x - 3y = 2000 ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನ (Elimination Method): (1) × 3 => 27x - 12y = 6000 (2) × 4 => 28x - 12y = 8000 ಕಳೆದಾಗ: (28x - 27x) - (12y - 12y) = 8000 - 6000 x = 2000. ಆದಾಯಗಳು: ವ್ಯಕ್ತಿ 1: 9x = 9(2000) = ₹ 18,000. ವ್ಯಕ್ತಿ 2: 7x = 7(2000) = ₹ 14,000.

ಪರಿಹಾರ: 1) 2x + 3y = 8 2) 4x + 6y = 7 (1) ನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 4x + 6y = 16 ... (3) (3) ರಿಂದ (2) ನ್ನು ಕಳೆದಾಗ: (4x - 4x) + (6y - 6y) = 16 - 7 0 = 9 ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ (No Solution).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 2/4 = 1/2, b1/b2 = -2/-4 = 1/2, c1/c2 = 2/5. ಸಮಾಂತರ => ಅಸ್ಥಿರ.

ಪರಿಹಾರ: ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ x, ಬಿಡಿ ಸ್ಥಾನದ ಅಂಕೆ y ಆಗಿರಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆ = 10x + y. ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ = 10y + x. 1) (10x + y) + (10y + x) = 66 => 11x + 11y = 66 => x + y = 6. ವ್ಯತ್ಯಾಸ 2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ: Case A: x - y = 2 Case B: y - x = 2 Case A: x + y = 6 x - y = 2 ಕೂಡಿದಾಗ: 2x = 8 => x = 4. y = 6 - 4 = 2. ಸಂಖ್ಯೆ = 42. Case B: x + y = 6 -x + y = 2 ಕೂಡಿದಾಗ: 2y = 8 => y = 4. x = 6 - 4 = 2. ಸಂಖ್ಯೆ = 24. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 42 ಮತ್ತು 24.

ಪರಿಹಾರ: ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ = x, ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ = y ಆಗಿರಲಿ. ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು: x + y = 10 ... (1) ಹುಡುಗಿಯರು 4 ಹೆಚ್ಚು: x = y + 4 => x - y = 4 ... (2) ನಕ್ಷಾ ಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ: (1) x + y = 10: (5, 5), (6, 4), (7, 3) (2) x - y = 4: (4, 0), (5, 1), (7, 3) ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳು (7, 3) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹುಡುಗಿಯರ ಸಂಖ್ಯೆ (x) = 7, ಹುಡುಗರ ಸಂಖ್ಯೆ (y) = 3.

ಪರಿಹಾರ: ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಬೆಲೆ = x, ಪೆನ್ ಬೆಲೆ = y. 1) 5x + 7y = 50 => 5x = 50 - 7y => x = (50 - 7y)/5 y=0 => x=10; y=5 => x=3. ಬಿಂದುಗಳು: (10, 0), (3, 5). 2) 7x + 5y = 46 => 7x = 46 - 5y => x = (46 - 5y)/7 y=-2 => x=8; y=5 => x=3. ಬಿಂದುಗಳು: (8, -2), (3, 5). ಎರಡೂ ರೇಖೆಗಳು (3, 5) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಬೆಲೆ ₹ 3, ಪೆನ್ ಬೆಲೆ ₹ 5.

ಪರಿಹಾರ: a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8 a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9 a1/a2 = 5/7 b1/b2 = -4/6 = -2/3 a1/a2 ≠ b1/b2 ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ (Intersecting Lines).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 9/18 = 1/2 b1/b2 = 3/6 = 1/2 c1/c2 = 12/24 = 1/2 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (Coincident Lines).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 6/2 = 3 b1/b2 = -3/-1 = 3 c1/c2 = 10/9 a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ (Parallel Lines).

ಪರಿಹಾರ: 3x + 2y - 5 = 0; 2x - 3y - 7 = 0 a1/a2 = 3/2 b1/b2 = 2/-3 ಅನುಪಾತಗಳು ಸಮನಿಲ್ಲ (≠). ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ (Consistent).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 2/4 = 1/2 b1/b2 = -3/-6 = 1/2 c1/c2 = 8/9 a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 (ಸಮಾಂತರ). ಅಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ (Inconsistent).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = (3/2)/9 = 3/18 = 1/6 b1/b2 = (5/3)/-10 = 5/-30 = -1/6 a1/a2 ≠ b1/b2. ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ (Consistent).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 5/-10 = -1/2 b1/b2 = -3/6 = -1/2 c1/c2 = 11/-22 = -1/2 ಎಲ್ಲಾ ಸಮನಾಗಿವೆ. ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುವ ರೇಖೆಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅವಲಂಬಿತ ಜೋಡಿ (Consistent and Dependent).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = (4/3)/2 = 4/6 = 2/3 b1/b2 = 2/3 c1/c2 = 8/12 = 2/3 ಎಲ್ಲಾ ಸಮನಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ (Consistent).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 1/2, b1/b2 = 1/2, c1/c2 = 5/10 = 1/2. ಸಮನಾಗಿವೆ => ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ => ಸ್ಥಿರ. ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ. (ಉದಾ: x=0, y=5; x=5, y=0).

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = 1/3, b1/b2 = -1/-3 = 1/3, c1/c2 = 8/16 = 1/2. a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 => ಸಮಾಂತರ => ಅಸ್ಥಿರ. ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ: ಉದ್ದ = l, ಅಗಲ = b. l = b + 4 ... (1) ಸುತ್ತಳತೆ = 2(l + b). ಅರ್ಧ ಸುತ್ತಳತೆ = l + b = 36 ... (2) (1) ನ್ನು (2) ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ: (b + 4) + b = 36 2b = 32 => b = 16m. l = 16 + 4 = 20m. ಉದ್ದ = 20m, ಅಗಲ = 16m.

ಪರಿಹಾರ: (i) ಛೇದಿಸಲು (a1/a2 ≠ b1/b2): 3x + 2y - 7 = 0 (ii) ಸಮಾಂತರವಾಗಿರಲು (a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2): 4x + 6y - 10 = 0 (iii) ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳಲು (ಎಲ್ಲಾ ಅನುಪಾತ ಸಮ): 4x + 6y - 16 = 0

ಪರಿಹಾರ: 1) x - y = -1 => y = x + 1. ಬಿಂದುಗಳು: (0, 1), (-1, 0), (2, 3). 2) 3x + 2y = 12 => 2y = 12 - 3x. ಬಿಂದುಗಳು: (0, 6), (4, 0), (2, 3). ರೇಖೆಗಳು (2, 3) ರಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು (y=0): ರೇಖೆ 1: x = -1 => (-1, 0). ರೇಖೆ 2: x = 4 => (4, 0). ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಬಿಂದುಗಳು: (2, 3), (-1, 0), ಮತ್ತು (4, 0).

ಪರಿಹಾರ: x = y + 4. (y + 4) + y = 14 => 2y = 10 => y = 5. x = 5 + 4 = 9. ಪರಿಹಾರ: x = 9, y = 5.

ಪರಿಹಾರ: s = t + 3. (t + 3)/3 + t/2 = 6 2(t + 3) + 3t = 36 (6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ) 2t + 6 + 3t = 36 => 5t = 30 => t = 6. s = 6 + 3 = 9. ಪರಿಹಾರ: s = 9, t = 6.

ಪರಿಹಾರ: y = 3x - 3. 9x - 3(3x - 3) = 9 9x - 9x + 9 = 9 9 = 9. (ಸತ್ಯ ಹೇಳಿಕೆ). ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಪರಿಹಾರ: 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 2x + 3y = 13, 4x + 5y = 23. 2x = 13 - 3y => x = (13 - 3y)/2. 4((13 - 3y)/2) + 5y = 23 2(13 - 3y) + 5y = 23 26 - 6y + 5y = 23 => -y = -3 => y = 3. x = (13 - 9)/2 = 2. ಪರಿಹಾರ: x = 2, y = 3.

ಪರಿಹಾರ: √3x = √8y => x = (√8/√3)y. √2((√8/√3)y) + √3y = 0 (√16/√3)y + √3y = 0 (4/√3 + √3)y = 0 => y = 0. x = 0. ಪರಿಹಾರ: x = 0, y = 0.

ಪರಿಹಾರ: 1) 9x - 10y = -12 (6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ) 2) 2x + 3y = 13 (6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ) => 2x = 13 - 3y => x = (13 - 3y)/2. 9((13 - 3y)/2) - 10y = -12 117 - 27y - 20y = -24 -47y = -141 => y = 3. x = (13 - 9)/2 = 2. ಪರಿಹಾರ: x = 2, y = 3.

ಪರಿಹಾರ: 2x + 3y = 11 2x - 4y = -24 ಕಳೆದಾಗ: 7y = 35 => y = 5. 2x + 15 = 11 => 2x = -4 => x = -2. y = mx + 3 ರಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ: 5 = m(-2) + 3 2 = -2m => m = -1.

ಪರಿಹಾರ: x - y = 26 x = 3y 3y - y = 26 => 2y = 26 => y = 13. x = 3(13) = 39. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 39, 13.

ಪರಿಹಾರ: x + y = 180 (ಪರಿಪೂರಕ) x = y + 18 (y + 18) + y = 180 => 2y = 162 => y = 81. x = 81 + 18 = 99. ಕೋನಗಳು: 99°, 81°.

ಪರಿಹಾರ: ಬ್ಯಾಟ್ = x, ಚೆಂಡು = y. 7x + 6y = 3800 ... (1) 3x + 5y = 1750 ... (2) (2) => 3x = 1750 - 5y => x = (1750 - 5y)/3 (1) ರಲ್ಲಿ: 7((1750 - 5y)/3) + 6y = 3800 12250 - 35y + 18y = 11400 -17y = -850 => y = 50. x = (1750 - 250)/3 = 500. ಬ್ಯಾಟ್ ಬೆಲೆ ₹ 500, ಚೆಂಡು ಬೆಲೆ ₹ 50.

ಪರಿಹಾರ: x + 10y = 105 ... (1) x + 15y = 155 ... (2) ಕಳೆದಾಗ: 5y = 50 => y = 10. x + 100 = 105 => x = 5. ನಿಗದಿತ ದರ ₹ 5, ಪ್ರತಿ ಕಿ.ಮೀ ಗೆ ₹ 10. 25km ಗೆ: x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = ₹ 255.

ಪರಿಹಾರ: ಭಿನ್ನರಾಶಿ = x/y. (x+2)/(y+2) = 9/11 => 11x + 22 = 9y + 18 => 11x - 9y = -4 ... (1) (x+3)/(y+3) = 5/6 => 6x + 18 = 5y + 15 => 6x - 5y = -3 ... (2) ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: x = 7, y = 9. ಭಿನ್ನರಾಶಿ: 7/9.

ಪರಿಹಾರ: ಜೇಕಬ್ = x, ಮಗ = y. x + 5 = 3(y + 5) => x - 3y = 10 ... (1) x - 5 = 7(y - 5) => x - 7y = -30 ... (2) (1) - (2) => 4y = 40 => y = 10. x - 30 = 10 => x = 40. ಜೇಕಬ್: 40 ವರ್ಷ, ಮಗ: 10 ವರ್ಷ.

ಪರಿಹಾರ: (x + y = 5) × 3 => 3x + 3y = 15. 2x - 3y = 4. ಕೂಡಿದಾಗ: 5x = 19 => x = 19/5. y = 5 - 19/5 = 6/5.

ಪರಿಹಾರ: (2x - 2y = 2) => x - y = 1 => x = y + 1. 3(y + 1) + 4y = 10 => 7y = 7 => y = 1. x = 2.

ಪರಿಹಾರ: 3x - 5y = 4 ... (1) 9x - 2y = 7 ... (2) (1) × 3 => 9x - 15y = 12. (2) => 9x - 2y = 7. ಕಳೆದಾಗ: -13y = 5 => y = -5/13. 3x = 4 + 5(-5/13) = 4 - 25/13 = 27/13 => x = 9/13.

ಪರಿಹಾರ: 3x + 4y = -6 ... (1) 3x - y = 9 ... (2) (1) - (2) => 5y = -15 => y = -3. 3x - (-3) = 9 => 3x = 6 => x = 2.

ಪರಿಹಾರ: (x+1)/(y-1) = 1 => x - y = -2 ... (1) x/(y+1) = 1/2 => 2x - y = 1 ... (2) (2) - (1) => x = 3. 3 - y = -2 => y = 5. ಭಿನ್ನರಾಶಿ: 3/5.

ಪರಿಹಾರ: N - 5 = 3(S - 5) => N - 3S = -10 ... (1) N + 10 = 2(S + 10) => N - 2S = 10 ... (2) (2) - (1) => S = 20. N - 60 = -10 => N = 50. ನೂರಿ: 50, ಸೋನು: 20.

ಪರಿಹಾರ: x + y = 9 ... (1) 9(10x + y) = 2(10y + x) => 90x + 9y = 20y + 2x => 88x - 11y = 0 => 8x = y. (1) ರಲ್ಲಿ: x + 8x = 9 => 9x = 9 => x = 1. y = 8. ಸಂಖ್ಯೆ: 18.

ಪರಿಹಾರ: x + y = 25 ... (1) 50x + 100y = 2000 => x + 2y = 40 ... (2) (2) - (1) => y = 15. x = 10. ₹ 50 ನೋಟುಗಳು: 10, ₹ 100 ನೋಟುಗಳು: 15.

ಪರಿಹಾರ: x + 4y = 27 (7 ದಿನ = 3 ನಿಗದಿತ + 4 ಹೆಚ್ಚುವರಿ) x + 2y = 21 (5 ದಿನ = 3 ನಿಗದಿತ + 2 ಹೆಚ್ಚುವರಿ) ಕಳೆದಾಗ: 2y = 6 => y = 3. x + 6 = 21 => x = 15. ನಿಗದಿತ ದರ ₹ 15, ದಿನದ ದರ ₹ 3.

ಉತ್ತರ: ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ (ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರ).

ಉತ್ತರ: ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು (ಒಂದೇ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ).

ಉತ್ತರ: 2x = 8 => x = 4.

ಉತ್ತರ: ಶೂನ್ಯ (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ).

ಉತ್ತರ: c1 = 0.

ಉತ್ತರ: ಹೌದು (1/3 ≠ -2/4), ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಉತ್ತರ: ಇಳಿಜಾರು (Slope).

ಉತ್ತರ: 3/2 = 2k/5 => 4k = 15 => k = 15/4.

ಉತ್ತರ: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.

ಪರಿಹಾರ: ಕೂಡಿದಾಗ: 2x = 18 => x = 9. y = 9 - 4 = 5.

ಪರಿಹಾರ: k/12 = 3/k = (k-3)/k k/12 = 3/k => k2 = 36 => k = ±6. 3/k = (k-3)/k => 3 = k - 3 => k = 6. ಆದ್ದರಿಂದ k = 6.

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 4x - 4y = 4. ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಕೂಡಿಸಿ: (3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4 7x = 14 => x = 2. 2(2) - 2y = 2 => 4 - 2y = 2 => 2y = 2 => y = 1.

ಪರಿಹಾರ: 5x + 6y = 55 4x + 3y = 35 => 8x + 6y = 70 (2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ) ಕಳೆದಾಗ: 3x = 15 => x = 5. ಪೆನ್ ಬೆಲೆ ₹ 5.

ಪರಿಹಾರ: 1) 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 3x + 4y = -6. 2) 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: 3x - y = 9.

ಪರಿಹಾರ: k = 2(5) + 3(2) = 10 + 6 = 16.

ಪರಿಹಾರ: x + y = 15 x - y = 5 2x = 20 => x = 10. y = 5.

ಪರಿಹಾರ: x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ y = 0. 2x - 6 = 0 => 2x = 6 => x = 3. ಬಿಂದು: (3, 0).

ಪರಿಹಾರ: 1/2 = 2/4 ≠ 4/12 (1/2 = 1/2 ≠ 1/3). ಇದು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಷರತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ.

ಪರಿಹಾರ: 1) y = 3 - x. ಬಿಂದುಗಳು: (0, 3), (3, 0). 2) 2y = 3x - 4 => y = (3x - 4)/2. x=0 => y=-2; x=2 => y=1; x=4 => y=4. ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳು (2, 1) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. x = 2, y = 1.

ಪರಿಹಾರ: ಉದ್ದ=x, ಅಗಲ=y, ವಿಸ್ತೀರ್ಣ=xy. 1) (x - 5)(y + 3) = xy - 9 => 3x - 5y = 6. 2) (x + 3)(y + 2) = xy + 67 => 2x + 3y = 61. ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: x = 17, y = 9.

ಪರಿಹಾರ: x + 100y = 800 x + 150y = 1150 ಕಳೆದಾಗ: 50y = 350 => y = 7. x + 700 = 800 => x = 100. 200km ಗೆ: 100 + 200(7) = 1500.

ಪರಿಹಾರ: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 4/(2p+7q) = 5/(p+8q) = 2/(2q-p+1). ಇದನ್ನು ಬಿಡಿಸಿದಾಗ p ಮತ್ತು q ಬೆಲೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ರೈಲು ವೇಗ u, ಕಾರು ವೇಗ v. 250/u + 120/v = 4 130/u + 240/v = 4 + 18/60. 1/u = a, 1/v = b ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಬಿಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: 1/x = u, 1/y = v. 2u + 3v = 13 5u - 4v = -2 ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: u = 2, v = 3. x = 1/2, y = 1/3.

ಪರಿಹಾರ: ದೋಣಿ ಜವ x, ಪ್ರವಾಹ y. 30/(x-y) + 44/(x+y) = 10 40/(x-y) + 55/(x+y) = 13 ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: x = 8 km/h, y = 3 km/h.

ಪರಿಹಾರ: A+B+C = 180. C = 3B => 3B. 3B = 2(A+B) => 3B = 2A + 2B => B = 2A => A = B/2. B/2 + B + 3B = 180 => 4.5B = 180 => B = 40. A = 20, C = 120.

ಪರಿಹಾರ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣ: bx + ay = 2ab. ಎರಡನೇಯದು: ax - by = a^2 - b^2. ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: x = a, y = b.

ಪರಿಹಾರ: A+C=180 => 4y+20-4x=180 => -x+y=40. B+D=180 => 3y-5-7x+5=180 => -7x+3y=180. ಬಿಡಿಸಿದಾಗ ಕೋನಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (x + y = 5). ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೇಖೆ ಬರುತ್ತದೆ (ಐಕ್ಯಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ). ಪರಿಹಾರ: ಅಪರಿಮಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಪರಿಹಾರ: ವೇಗ S, ಸಮಯ T. ದೂರ D = ST. (S+3)(T-40/60) = ST => -2S + 9T = 6 ... (1) (S-2)(T+40/60) = ST => 2S - 6T = -4 ... (2) ಬಿಡಿಸಿದಾಗ: S = 12 km/h, T = ? D = 60km. (ಅಂದಾಜು) ಸರಿಯಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಚಿಕ್ಕ ಕೊಳವೆ x ಗಂಟೆ, ದೊಡ್ಡದು x-10. 1/x + 1/(x-10) = 8/75. ದ್ವಿಘಾತ ಸಮೀಕರಣ ಬರುತ್ತದೆ. ಬಿಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ: ಛೇದಕ ಬಿಂದು (1, 4). y-ಅಕ್ಷದ ಛೇದಕಗಳು: (0, 6) ಮತ್ತು (0, 2). ತ್ರಿಭುಜದ ಪಾದ = 4, ಎತ್ತರ = 1. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 × 4 × 1 = 2 ಚದರ ಮಾನಗಳು.

ಪರಿಹಾರ: ಪುರುಷ x ದಿನ, ಹುಡುಗ y ದಿನ. 8/x + 12/y = 1/10 6/x + 8/y = 1/14 ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ ಬಿಡಿಸಿ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಆದೇಶ ವಿಧಾನ: ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದು ಆದೇಶಿಸುವುದು. • ವರ್ಜಿಸುವ ವಿಧಾನ: ಸಹಗುಣಕ ಸಮಗೊಳಿಸಿ ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. • ಓರೆ ಗುಣಾಕಾರ ವಿಧಾನ (ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದರೆ).

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ವಯಸ್ಸಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. • ವಸ್ತುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. • ವೇಗ, ದೂರ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ. • ಹಣಕಾಸಿನ ವ್ಯವಹಾರಗಳು.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಅನುಕೂಲ: ದೃಶ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಗಳ ಸ್ವಭಾವ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. • ಅನಾನುಕೂಲ: ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶ ಪರಿಹಾರವಿದ್ದಾಗ ನಿಖರತೆ ಕಷ್ಟ. ಸಮಯ ಹೆಚ್ಚು ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಸ್ಥಿರ (ಛೇದಿಸುವ): a1/a2 ≠ b1/b2. • ಅಸ್ಥಿರ (ಸಮಾಂತರ): a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2. • ಅವಲಂಬಿತ (ಐಕ್ಯ): a1/a2 = b1/b2 = c1/c2.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಎಂದಿಗೂ ಸಂಧಿಸದಿದ್ದಾಗ. • ಉದಾಹರಣೆ: ರೈಲು ಹಳಿಗಳು, ಏಣಿಯ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳು. • ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2.