6. (1, 2), (4, y), (x, 6) ಮತ್ತು (3, 5) ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಶೃಂಗಗಳಾದರೆ, x ಮತ್ತು y ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: (3, 2), (-2, -3) ಮತ್ತು (2, 3) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತ್ರಿಭುಜ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆಯೇ? ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಉಂಟಾದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಧವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: (1, 7), (4, 2), (-1, -1) ಮತ್ತು (-4, 4) ಬಿಂದುಗಳು ಚೌಕದ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಅಶೀಮಾ, ಭಾರತಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾರೆಲಾ ಕ್ರಮವಾಗಿ A(3, 1), B(6, 4) ಮತ್ತು C(8, 6) ರಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆ. ಆ ಮೂರು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿನಿಯರು ಒಂದೇ ಸರಳರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿದ್ದಾರೆಂದು ನಿಮಗೆ ಅನಿಸುತ್ತದೆಯೇ? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕಾರಣ ಕೊಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4: (x, y) ಬಿಂದುವು (7, 1) ಮತ್ತು (3, 5) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ಮತ್ತು y ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5: A(6, 5) ಮತ್ತು B(-4, 3) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6: (4, -3) ಮತ್ತು (8, 5) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ 3:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7: A(-6, 10) ಮತ್ತು B(3, -8) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು (-4, 6) ಬಿಂದುವು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ?

ಉದಾಹರಣೆ 8: A(2, -2) ಮತ್ತು B(-7, 4) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ತ್ರೈಭಾಜಕ ಬಿಂದುಗಳ (ಮೂರು ಸಮ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳು) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9: (5, -6) ಮತ್ತು (-1, -4) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು y-ಅಕ್ಷವು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 10: A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) ಮತ್ತು D(p, 3) ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಅನುಕ್ರಮ ಶೃಂಗಗಳಾದರೆ, p ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. i) (2, 3), (4, 1) ii) (-5, 7), (-1, 3) iii) (a, b), (-a, -b)

2. (0, 0) ಮತ್ತು (36, 15) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. (1, 5), (2, 3) ಮತ್ತು (-2, -11) ಎಂಬ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖಾಗತವೇ ಎಂದು ನಿರ್ಣಯಿಸಿ.

4. (5, -2), (6, 4) ಮತ್ತು (7, -2) ಒಂದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

7. AB ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ (2, -3) ಮತ್ತು B ಯು (1, 4) ಆದರೆ, A ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ A, B, C, D ಯಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿರುವ ಸ್ನೇಹಿತರ ಆಕೃತಿ ಚೌಕವೇ ಎಂದು ಚಂಪಾ ಮತ್ತು ಚಮೇಲಿ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ದೂರ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಯಾರು ಸರಿ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಚಿತ್ರ 7.8 ರಂತೆ A(3,4), B(6,7), C(9,4), D(6,1)).

6. ಕೆಳಗಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಉಂಟಾಗುವುದಾದರೆ, ಉಂಟಾದ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಧವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ. i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0) ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4) iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

7. (2, -5) ಮತ್ತು (-2, 9) ರಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. P(2, -3) ಮತ್ತು Q(10, y) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 10 ಮಾನಗಳಾದರೆ, y ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. Q(0, 1) ಬಿಂದುವು P(5, -3) ಮತ್ತು R(x, 6) ರಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ನ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. QR ಮತ್ತು PR ದೂರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. (x, y) ಬಿಂದುವು (3, 6) ಮತ್ತು (-3, 4) ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, x ಮತ್ತು y ಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. (-1, 7) ಮತ್ತು (4, -3) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು 2:3 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. (4, -1) ಮತ್ತು (-2, -3) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡದ ತ್ರೈಭಾಜಕ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಶಾಲಾ ಮೈದಾನದಲ್ಲಿ ABCD ಆಯತ. AD ಯಲ್ಲಿ 1m ಅಂತರದಲ್ಲಿ 100 ಕುಂಡಗಳು. ನಿಹಾರಿಕಾ 1/4 AD ದೂರವನ್ನು 2ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಓಡುತ್ತಾಳೆ. ಪ್ರೀತ್ 1/5 AD ದೂರವನ್ನು 8ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಓಡುತ್ತಾಳೆ. ಧ್ವಜಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವೆಷ್ಟು? ರಶ್ಮಿ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಧ್ವಜ ನೆಡಬೇಕಾದರೆ ಎಲ್ಲಿ ನೆಡಬೇಕು?

4. (-3, 10) ಮತ್ತು (6, -8) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು (-1, 6) ರಿಂದ ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. A(1, -5) ಮತ್ತು B(-4, 5) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವು x-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ? ವಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. A ಮತ್ತು B ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ (-2, -2) ಮತ್ತು (2, -4) ಆಗಿದ್ದು AP = 3/7 AB ಆಗುವಂತೆ ರೇಖಾಖಂಡ AB ಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ P ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. A(-2, 2) ಮತ್ತು B(2, 8) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು 4 ಸಮಭಾಗಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

10. ಒಂದು ವಜ್ರಾಕೃತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಶೃಂಗಗಳು (3, 0), (4, 5), (-1, 4) ಮತ್ತು (-2, -1) ಆದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ಮೂಲಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

2. x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ y-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವೇನು?

3. (x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಇರುವ ದೂರದ ಸೂತ್ರವೇನು?

4. ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. (-3, 4) ಬಿಂದುವಿನ x-ಅಕ್ಷದಿಂದ ಇರುವ ದೂರವೆಷ್ಟು?

6. y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೇನು?

7. (2, 3) ಮತ್ತು (4, 1) ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಯಾವುದು?

8. ಭುಜ (abscissa) ಎಂದರೇನು?

9. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೆಷ್ಟು?

10. P(x, y) ಬಿಂದುವಿನ ಕೋಟಿ (ordinate) ಯಾವುದು?

1. (0, 0) ಮತ್ತು (5, 12) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. A(a, 0) ಮತ್ತು B(0, b) ಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರವೇನು?

3. (4, p) ಮತ್ತು (1, 0) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 5 ಆದರೆ p ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. A(1, 2) ಮತ್ತು B(3, 4) ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. (2, -2) ಮತ್ತು (-1, x) ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ದೂರ 5 ಆದರೆ x ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. x-ಅಕ್ಷವು (2, -3) ಮತ್ತು (5, 6) ನ್ನು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ?

7. A(5, 1), B(1, 5) ಮತ್ತು C(-3, 1) ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಧ ಯಾವುದು?

8. (3, 4) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮೂಲಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ದೂರವೇನು?

9. A(-2, 5) ಮತ್ತು B(-2, 9) ರೇಖೆಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಯಾವುದು?

10. 2x + 3y = 0 ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮೂಲಬಿಂದು ಇದೆಯೇ?

1. (6, 9) ಮತ್ತು (-6, -9) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ತ್ರಿಭಾಗಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಶೃಂಗಗಳು (1, -1), (-4, 6) ಮತ್ತು (-3, -5) ಇರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ).

3. A(2, -2) ಮತ್ತು B(3, 7) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು 2x + y - 4 = 0 ರೇಖೆಯು ಯಾವ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ?

4. ಒಂದು ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ಅಂತ್ಯಬಿಂದುಗಳು (2, -5) ಮತ್ತು (-2, 9). ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. (x, y), (1, 2) ಮತ್ತು (7, 0) ಸರಳರೇಖಾಗತವಾಗಿದ್ದರೆ x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೇನು?

6. P(x, y) ಬಿಂದುವು (5, 1) ಮತ್ತು (-1, 5) ರಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ 3x = 2y ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

7. A(1, 1), B(-1, 5), C(7, 9) ಮತ್ತು D(9, 5) ಆಯತದ ಶೃಂಗಗಳೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

8. (3, -2), (4, 0), (6, -3) ಮತ್ತು (5, -5) ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳೇ?

9. y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಯಾವ ಬಿಂದುವು (6, 5) ಮತ್ತು (-4, 3) ರಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ?

10. ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು (1, 1), (2, -3) ಮತ್ತು (3, 4) ಆದರೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರವನ್ನು (Section Formula) ನಿರೂಪಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಧಿಸಿ.

2. A(4, -6), B(3, -2) ಮತ್ತು C(5, 2) ತ್ರಿಭುಜದ ಮಧ್ಯರೇಖೆ AD ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು AD ಯು BC ಯನ್ನು ಅರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

3. (0, -1), (2, 1) ಮತ್ತು (0, 3) ಶೃಂಗಗಳಿರುವ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಉಂಟಾದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೂ ದತ್ತ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅನುಪಾತ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಒಂದು ಚೌಕದ ಎರಡು ಎದುರು ಶೃಂಗಗಳು (-1, 2) ಮತ್ತು (3, 2) ಆದರೆ ಉಳಿದೆರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. A(2, 9), B(a, 5) ಮತ್ತು C(5, 5) ತ್ರಿಭುಜದ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿದ್ದು AB=AC ಆದರೆ a ಬೆಲೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

2. ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಬಳಸಿ ಹೇಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.

3. ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜವು ಚೌಕ, ಆಯತ ಅಥವಾ ವಜ್ರಾಕೃತಿ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೀರಿ?

4. ವಿಭಾಗ ಸೂತ್ರ (Section Formula) ವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಸೂತ್ರವು ಇದರ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭ ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿ.

5. ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ (ಸೂತ್ರದ ಮಹತ್ವ).