ಪರಿಹಾರ: ಭಾಗ ಪ್ರಮಾಣ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ: x = (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2) x = [3(8) + 1(4)] / (3 + 1) = (24 + 4) / 4 = 28 / 4 = 7. y = (m1y2 + m2y1) / (m1 + m2) y = [3(5) + 1(-3)] / (3 + 1) = (15 - 3) / 4 = 12 / 4 = 3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (7, 3).

ಪರಿಹಾರ: ಅನುಪಾತವು m1 : m2 ಆಗಿರಲಿ. x = (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2) -4 = [3m1 - 6m2] / (m1 + m2) -4m1 - 4m2 = 3m1 - 6m2 2m2 = 7m1 m1 / m2 = 2 / 7. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಪಾತವು 2 : 7.

ಪರಿಹಾರ: P ಮತ್ತು Q ತ್ರೈಭಾಜಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. P ಬಿಂದುವು AB ಯನ್ನು 1:2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. P = [(1(-7) + 2(2))/(1+2), (1(4) + 2(-2))/(1+2)] P = [(-7+4)/3, (4-4)/3] = (-3/3, 0) = (-1, 0). Q ಬಿಂದುವು AB ಯನ್ನು 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ. Q = [(2(-7) + 1(2))/(2+1), (2(4) + 1(-2))/(2+1)] Q = [(-14+2)/3, (8-2)/3] = (-12/3, 6/3) = (-4, 2). ಬಿಂದುಗಳು (-1, 0) ಮತ್ತು (-4, 2).

ಪರಿಹಾರ: ಅನುಪಾತ k:1 ಆಗಿರಲಿ. y-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವಿನ x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸೊನ್ನೆ. x = (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2) 0 = [k(-1) + 1(5)] / (k + 1) 0 = -k + 5 => k = 5. ಅನುಪಾತ 5:1. ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ y-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ: y = [5(-4) + 1(-6)] / (5 + 1) = (-20 - 6) / 6 = -26/6 = -13/3. ಬಿಂದು (0, -13/3).

ಪರಿಹಾರ: ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅರ್ಧಿಸುತ್ತವೆ. AC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು = BD ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು. [(6+9)/2, (1+4)/2] = [(8+p)/2, (2+3)/2] (15/2, 5/2) = ((8+p)/2, 5/2) x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದಾಗ: 15/2 = (8+p)/2 15 = 8 + p => p = 7.

ಪರಿಹಾರ: i) d = √[(4-2)2 + (1-3)2] = √[22 + (-2)2] = √[4+4] = √8 = 2√2. ii) d = √[(-1 - (-5))2 + (3-7)2] = √[42 + (-4)2] = √[16+16] = √32 = 4√2. iii) d = √[(-a - a)2 + (-b - b)2] = √[(-2a)2 + (-2b)2] = √[4a2 + 4b2] = 2√(a2 + b2).

ಪರಿಹಾರ: d = √[(36-0)2 + (15-0)2] = √[362 + 152] d = √[1296 + 225] = √1521 = 39 ಮಾನಗಳು.

ಪರಿಹಾರ: A(1, 5), B(2, 3), C(-2, -11) ಆಗಿರಲಿ. AB = √[(2-1)2 + (3-5)2] = √[1 + 4] = √5 ≈ 2.24 BC = √[(-2-2)2 + (-11-3)2] = √[16 + 196] = √212 ≈ 14.56 AC = √[(-2-1)2 + (-11-5)2] = √[9 + 256] = √265 ≈ 16.28 AB + BC ≠ AC (2.24 + 14.56 = 16.8 ≠ 16.28). ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖಾಗತವಲ್ಲ.

ಪರಿಹಾರ: A(5, -2), B(6, 4), C(7, -2). AB = √[(6-5)2 + (4-(-2))2] = √[1 + 36] = √37 BC = √[(7-6)2 + (-2-4)2] = √[1 + 36] = √37 AC = √[(7-5)2 + (-2-(-2))2] = √[4 + 0] = 2 AB = BC = √37. ಎರಡು ಬಾಹುಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: ಕೇಂದ್ರ C(2, -3) ಯು AB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು. A(x, y) ಆಗಿರಲಿ. (x+1)/2 = 2 => x+1 = 4 => x = 3. (y+4)/2 = -3 => y+4 = -6 => y = -10. A ಬಿಂದು (3, -10).

ಪರಿಹಾರ: AB = √[(6-3)2 + (7-4)2] = √[9+9] = 3√2 BC = √[(9-6)2 + (4-7)2] = √[9+9] = 3√2 CD = √[(6-9)2 + (1-4)2] = √[9+9] = 3√2 DA = √[(3-6)2 + (4-1)2] = √[9+9] = 3√2 ಕರ್ಣಗಳು: AC = √[(9-3)2 + (4-4)2] = √36 = 6 BD = √[(6-6)2 + (1-7)2] = √36 = 6 ಬಾಹುಗಳು ಸಮ ಮತ್ತು ಕರ್ಣಗಳು ಸಮ. ಇದು ಚೌಕ. ಚಂಪಾ ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ.

ಪರಿಹಾರ: i) ಬಾಹುಗಳು AB=BC=CD=DA=√8=2√2. ಕರ್ಣಗಳು AC=BD=4. ಇದು ಚೌಕ. ii) AB=√52, BC=√13, AC=√13. AC+BC=AB. ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖಾಗತವಾಗಿವೆ. ಚತುರ್ಭುಜ ಉಂಟಾಗುವುದಿಲ್ಲ. iii) AB=√10, BC=√18, CD=√10, DA=√18. ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮ. ಕರ್ಣಗಳು ಅಸಮ. ಇದು ಸಮಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ.

ಪರಿಹಾರ: x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದು P(x, 0) ಆಗಿರಲಿ. (x-2)2 + (0-(-5))2 = (x-(-2))2 + (0-9)2 x2 - 4x + 4 + 25 = x2 + 4x + 4 + 81 -4x + 29 = 4x + 85 -8x = 56 x = -7. ಬಿಂದು (-7, 0).

ಪರಿಹಾರ: PQ = 10 => PQ2 = 100 (10-2)2 + (y-(-3))2 = 100 64 + (y+3)2 = 100 (y+3)2 = 36 y+3 = ±6 y = 6-3 = 3 ಅಥವಾ y = -6-3 = -9. y ನ ಬೆಲೆಗಳು 3 ಮತ್ತು -9.

ಪರಿಹಾರ: QP = QR => QP2 = QR2 (5-0)2 + (-3-1)2 = (x-0)2 + (6-1)2 25 + 16 = x2 + 25 x2 = 16 => x = ±4. x = 4 ಆದರೆ: QR = √[16+25] = √41, PR = √[1+81] = √82. x = -4 ಆದರೆ: QR = √41, PR = √[81+81] = 9√2.

ಪರಿಹಾರ: (x-3)2 + (y-6)2 = (x+3)2 + (y-4)2 x2-6x+9 + y2-12y+36 = x2+6x+9 + y2-8y+16 -6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25 -12x - 4y + 20 = 0 -4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ: 3x + y - 5 = 0.

ಪರಿಹಾರ: x = [2(4) + 3(-1)] / (2+3) = (8-3)/5 = 1 y = [2(-3) + 3(7)] / (2+3) = (-6+21)/5 = 3 ಬಿಂದು (1, 3).

ಪರಿಹಾರ: P(1:2) = [(1(-2)+2(4))/3, (1(-3)+2(-1))/3] = (6/3, -5/3) = (2, -5/3). Q(2:1) = [(2(-2)+1(4))/3, (2(-3)+1(-1))/3] = (0/3, -7/3) = (0, -7/3).

ಪರಿಹಾರ: ನಿಹಾರಿಕಾ ಸ್ಥಾನ (N): (2, 1/4 * 100) = (2, 25). ಪ್ರೀತ್ ಸ್ಥಾನ (P): (8, 1/5 * 100) = (8, 20). ದೂರ NP = √[(8-2)2 + (20-25)2] = √[36 + 25] = √61 m. ಮಧ್ಯಬಿಂದು (ರಶ್ಮಿ) = [(2+8)/2, (25+20)/2] = (5, 22.5). ರಶ್ಮಿ 5ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ 22.5m ದೂರದಲ್ಲಿ ಧ್ವಜ ನೆಡಬೇಕು.

ಪರಿಹಾರ: ಅನುಪಾತ k:1 ಆಗಿರಲಿ. -1 = (6k - 3) / (k + 1) -k - 1 = 6k - 3 2 = 7k => k = 2/7. ಅನುಪಾತ 2:7.

ಪರಿಹಾರ: x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ y=0. ಅನುಪಾತ k:1. 0 = (k(5) + 1(-5)) / (k + 1) 5k - 5 = 0 => k = 1. ಅನುಪಾತ 1:1. x = (1(-4) + 1(1)) / 2 = -3/2. ಬಿಂದು (-3/2, 0).

ಪರಿಹಾರ: AP = 3/7 AB ಅಂದರೆ AP:PB = 3:4. P = [(3(2) + 4(-2))/7, (3(-4) + 4(-2))/7] P = [(6-8)/7, (-12-8)/7] = (-2/7, -20/7).

ಪರಿಹಾರ: ಮಧ್ಯಬಿಂದು M = (0, 5). AM ನ ಮಧ್ಯಬಿಂದು P = (-1, 3.5). MB ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು Q = (1, 6.5). ಬಿಂದುಗಳು: (-1, 3.5), (0, 5), (1, 6.5).

ಪರಿಹಾರ: ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 × d1 × d2. d1 (AC) = √[(-1-3)2 + (4-0)2] = √32 = 4√2. d2 (BD) = √[(-2-4)2 + (-1-5)2] = √72 = 6√2. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 1/2 × 4√2 × 6√2 = 12 × 2 = 24 ಚದರ ಮಾನಗಳು.

ಉತ್ತರ: (0, 0)

ಉತ್ತರ: 0

ಉತ್ತರ: √(x2 + y2)

ಉತ್ತರ: P(x, y) = [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]

ಉತ್ತರ: 4 ಮಾನಗಳು.

ಉತ್ತರ: (0, y)

ಉತ್ತರ: (3, 2)

ಉತ್ತರ: x-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ

ಉತ್ತರ: 0

ಉತ್ತರ: y

ಪರಿಹಾರ: d = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13.

ಪರಿಹಾರ: d = √[(0-a)2 + (b-0)2] = √(a2 + b2).

ಪರಿಹಾರ: (4-1)2 + (p-0)2 = 52 => 9 + p2 = 25 => p2 = 16 => p = ±4.

ಪರಿಹಾರ: [(1+3)/2, (2+4)/2] = (2, 3).

ಪರಿಹಾರ: 32 + (x+2)2 = 25 => (x+2)2 = 16 => x+2 = ±4 => x=2 ಅಥವಾ -6.

ಪರಿಹಾರ: -k(3) + 6 = 0 (y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಶೂನ್ಯ). k=2. ಅನುಪಾತ 1:2.

ಪರಿಹಾರ: AB=√32, BC=√32, AC=8 (√64). AB=BC. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಭುಜ.

ಪರಿಹಾರ: √(32 + 42) = √25 = 5.

ಪರಿಹಾರ: (-2, 7).

ಪರಿಹಾರ: ಹೌದು, 2(0) + 3(0) = 0.

ಪರಿಹಾರ: P(1:2) = (2, 3). Q(2:1) = (-2, -3).

ಪರಿಹಾರ: 1/2 [1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)] = 1/2 [11 + 16 + 21] = 24.

ಪರಿಹಾರ: ಅನುಪಾತ k:1. ಬಿಂದು [(3k+2)/(k+1), (7k-2)/(k+1)]. 2(3k+2) + (7k-2) - 4(k+1) = 0. 9k - 2 = 0 => k = 2/9. ಅನುಪಾತ 2:9.

ಪರಿಹಾರ: ಕೇಂದ್ರ (0, 2). ತ್ರಿಜ್ಯ √[(2-0)2 + (-5-2)2] = √53.

ಪರಿಹಾರ: x + 3y - 7 = 0.

ಪರಿಹಾರ: (x-5)2 + (y-1)2 = (x+1)2 + (y-5)2. ಸರಳೀಕರಿಸಿದಾಗ 12x = 8y => 3x = 2y.

ಪರಿಹಾರ: AB=CD=√20. BC=DA=√80. AC=BD=√100. ಹೌದು, ಆಯತ.

ಪರಿಹಾರ: ಹೌದು, ಕರ್ಣಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದು (4.5, -2.5) ಸಮನಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ: (0, 9). (ಉದಾಹರಣೆ 5 ರಂತೆ).

ಪರಿಹಾರ: A(2, 8), B(0, -6), C(4, 0).

ಪರಿಹಾರ: (ಪುಟ 116-117 ರ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 7.10 ಬಳಸಿ ಸಾಧಿಸುವುದು).

ಪರಿಹಾರ: D ಎಂಬುದು BC ಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದು (4, 0). AD ಉದ್ದ = √[(4-4)2 + (0-(-6))2] = 6.

ಪರಿಹಾರ: ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳು (1, 0), (1, 2), (0, 1). ಚಿಕ್ಕ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 1. ದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 4. ಅನುಪಾತ 1:4.

ಪರಿಹಾರ: (1, 0) ಮತ್ತು (1, 4).

ಪರಿಹಾರ: a = -1. ವಿಸ್ತೀರ್ಣ = 12.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಜಿಪಿಎಸ್ (GPS) ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು. • ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ದೂರ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು. • ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ. • ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗ್ರಹಗಳ ಸ್ಥಾನ ತಿಳಿಯಲು.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ರಚಿಸುವುದು. • ಪಾದ (x2-x1) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ (y2-y1) ಗುರುತಿಸುವುದು. • ಕರ್ಣದ ವರ್ಗ = ಪಾದದ ವರ್ಗ + ಎತ್ತರದ ವರ್ಗ ಎಂದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ನಾಲ್ಕು ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. • ಬಾಹುಗಳು ಸಮ, ಕರ್ಣಗಳು ಸಮ -> ಚೌಕ. • ಎದುರು ಬಾಹುಗಳು ಸಮ, ಕರ್ಣಗಳು ಸಮ -> ಆಯತ. • ಬಾಹುಗಳು ಸಮ, ಕರ್ಣಗಳು ಅಸಮ -> ವಜ್ರಾಕೃತಿ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • m1:m2 ಅನುಪಾತದ ಸೂತ್ರ ಬರೆಯುವುದು. • m1=1, m2=1 ಆದಾಗ ಅನುಪಾತ 1:1 ಆಗುತ್ತದೆ. • ಆಗ ಸೂತ್ರವು ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರದ ಮುಖ್ಯಾಂಶಗಳು: • ಮೂರು ಶೃಂಗ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಗತ್ಯ. • 1/2 [x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)] ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆ. • ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳರೇಖಾಗತ ಎಂದು ತಿಳಿಯುವುದು.