4. 10.5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳದ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. ಒಂದು ಘನ ಸಿಲಿಂಡರ್‍ನಿಂದ ಅದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಶಂಕುವನ್ನು ಕೊರೆದು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿದ ಘನದ ಘನಫಲವೇನು?

ಉದಾಹರಣೆ 1: ರಶೀದನು ಹುಟ್ಟುಹಬ್ಬದ ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿ ಒಂದು ಬುಗುರಿಯನ್ನು ಪಡೆದನು. ಬುಗುರಿಯ ಹೊರ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಬಣ್ಣ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಅವನು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಲು ಬಯಸಿದ್ದಾನೆ. ಬುಗುರಿಯು ಶಂಕುವಿನ ಪಾದದ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಇರಿಸಿದ ಹಾಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಬುಗುರಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಎತ್ತರವು 5 cm ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸವು 3.5 cm ಇದ್ದರೆ, ಅವನು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಬೇಕಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 2: ಚಿತ್ರ 12.7 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದ ಅಲಂಕಾರಿಕ ವಸ್ತುವು ಒಂದು ವರ್ಗ ಘನಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳ ಈ ಎರಡು ಘನಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಪಾದವು 5 cm ಬಾಹುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗ ಘನಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಅದರ ಮೇಲೆ 4.2 cm ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಇರಿಸಿದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಮೇಲೆ ಶಂಕುವಿನ ಪಾದವನ್ನು ಇರಿಸಿ, ಒಂದು ಮರದ ಆಟಿಕೆಯ ರಾಕೆಟ್‍ಅನ್ನು ಮಾಡಿದೆ. ರಾಕೆಟ್‍ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಎತ್ತರವು 26 cm ಹಾಗೆಯೇ, ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಭಾಗದ ಎತ್ತರವು 6 cm ಇದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಪಾದದ ವ್ಯಾಸವು 5 cm. ಹಾಗೆಯೇ, ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾದದ ವ್ಯಾಸವು 3 cm ಇದೆ. ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಭಾಗವನ್ನು ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಆಕಾರದ ಭಾಗವನ್ನು ಹಳದಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹಚ್ಚಬೇಕಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಣ್ಣ ಹಚ್ಚಿದ ರಾಕೆಟ್‍ನ ಭಾಗದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 3.14 ಎಂದು ಬಳಸಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಮಯಾಂಕನು ಅವನ ಕೈ ತೋಟದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಿಗಳು ಸ್ನಾನ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ, ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳಾಕಾರದ ತಗ್ಗು ಇರುವಂತೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎತ್ತರ 1.45 m ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 30 cm ಇದೆ. ಈ ಸಾಧನದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 5: ಶಾಂತ ಅವರು ಜೋಪಡಿ (shed)ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೈಗಾರಿಕೆಯನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಜೋಪಡಿಯ ಆಕಾರವು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಮೇಲ್ಛಾವಣಿಯು ಅರ್ಧ ಸಿಲಿಂಡರ್‍ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸಿದೆ. ಜೋಪಾಡಿಯ ಪಾದದ ಅಳತೆಯು 7 m × 15 m ಮತ್ತು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಎತ್ತರ 8 m ಆದರೆ ಜೋಪಾಡಿಯಲ್ಲಿ ಹಿಡಿಯುವ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮುಂದುವರೆದು, ಜೋಪಾಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಯಂತ್ರಗಳ ಒಟ್ಟು ಘನಫಲವು 300 m³ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿನ 20 ಕೆಲಸಗಾರರು, ಪ್ರತಿ ಕೆಲಸಗಾರರು ಸರಾಸರಿಯಾಗಿ 0.08 m³ ಅವಕಾಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಜೋಪಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ಗಾಳಿ ಎಷ್ಟು? (π = 22/7 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

5. ಒಂದು ಆಟಿಕೆಯು 3.5 cm ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಶಂಕುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ 5 cm ಆದರೆ ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲವೇನು?

ಉದಾಹರಣೆ 6: ಹಣ್ಣಿನ ರಸದ ವ್ಯಾಪಾರಿಯು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಆಕಾರದ ಗಾಜಿನ ಲೋಟದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಹಕರಿಗೆ ಹಣ್ಣಿನ ರಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದಾನೆ. ಸಿಲಿಂಡರಿನಾಕಾರದ ಗಾಜಿನ ಲೋಟದ ಒಳ ವ್ಯಾಸವು 5 cm ಇದೆ. ಆದರೆ ಲೋಟದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳದಷ್ಟು ಎತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗವು ಇದ್ದು, ಇದು ಲೋಟದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗಾಜಿನ ಲೋಟದ ಎತ್ತರವು 10 cm ಆದರೆ, ಲೋಟದ ಗೋಚರ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 3.14 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

ಉದಾಹರಣೆ 7: ಒಂದು ಘನ ಆಟಿಕೆಯು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಾದದ ಮೇಲೆ ನೇರ ಪಾದ ಶಂಕುವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರಿಸಿದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ 2 cm ಮತ್ತು ಪಾದದ ವ್ಯಾಸವು 4 cm ಇದೆ. ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಒಂದು ನೇರ ವೃತ್ತ ಪಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಟಿಕೆಯನ್ನು ಆವೃತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಆಟಿಕೆಯ ಘನಫಲದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 3.14 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

1. 64 cm³ ಘನಫಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2 ವರ್ಗ ಘನಗಳ ಮುಖಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಒಂದು ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿ ಮಾಡಿದೆ. ಈ ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯ ಆಕಾರವು ಟೊಳ್ಳಾದ ಅರ್ಧಗೋಲಾಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ಇರಿಸಿ ಉಂಟಾಗಿದೆ. ಅರ್ಧಗೋಳದ ವ್ಯಾಸವು 14 cm ಮತ್ತು ಪಾತ್ರೆಯ ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರವು 13 cm ಇದೆ. ಈ ಪಾತ್ರೆಯ ಒಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಒಂದು ಆಟಿಕೆಯನ್ನು 3.5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಅಷ್ಟೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಶಂಕುವನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ ತಯಾರಿಸಿದೆ. ಆಟಿಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರವು 15.5 cm ಆದರೆ ಆಟಿಕೆಯ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ 7 cm ಇರುವ ಒಂದು ವರ್ಗ ಘನಾಕೃತಿಯ ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಇರಿಸಿದೆ. ಈ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಗರಿಷ್ಠ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ? ಈ ಪೂರ್ಣ ಘನಾಕೃತಿಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಘನಫಲ 308 cm³ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 8 cm ಆದರೆ, ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ವರ್ಗ ಘನಾಕೃತಿಯ ಮರದ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದು ಮುಖದ ಒಳಭಾಗವು ತಗ್ಗಾಗುವಂತೆ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಕೊರೆಯಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಘನದ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದವು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ l ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನೂತನವಾಗಿ ಉಂಟಾದ ಘನದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ಒಂದು ಔಷಧದ ಕ್ಯಾಪ್ಸುಲ್‍ನ ಆಕಾರವು ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪ್ರತಿ ಪಾದಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಅಂಟಿಸಿದೆ. ಕ್ಯಾಪ್ಸುಲ್‍ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉದ್ದವು 14 mm ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯಾಸವು 5 mm ಇದೆ. ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

7. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಾದವನ್ನು ಶಂಕುವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸುವಂತೆ ಒಂದು ಡೇರೆಯು ಇದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸವು 2.1 m ಮತ್ತು 4 m ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇದೆ ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ ಓರೆ ಎತ್ತರ 2.8 m ಆದರೆ, ಡೇರೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಿದ ತಾಡಪತ್ರಿ (canvas) ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಹಾಗೆಯೇ, ತಾಡಪತ್ರಿಯ ದರವು ₹ 500 ಪ್ರತಿ ಚದರ ಮೀಟರ್‍ಗೆ ಆದರೆ, ತಾಡಪತ್ರಿಯನ್ನು ಕೊಳ್ಳಲು ಬೇಕಾಗುವ ಹಣವೆಷ್ಟು?

8. ಒಂದು ಘನ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎತ್ತರ 2.4 m ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸ 1.4 m ಇದೆ. ಇದರಿಂದ ಒಂದೇ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಕೊರೆದು ಟೊಳ್ಳಗಿಸಿದೆ. ನೂತನ ಘನದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸಮೀಪದ ಬೆಲೆಗೆ cm² ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. ಮರದಿಂದ ಮಾಡಿದ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎರಡು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅರ್ಧಗೋಳವನ್ನು ಚಿತ್ರ 12.11 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಕೊರೆದು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎತ್ತರ 10 cm ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯ 3.5 cm ಆದರೆ, ವಸ್ತುವಿನ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. ಒಂದು ಘನದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಾದದ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆವರಿಸುವಂತೆ ಶಂಕುವು ನಿಂತಿದೆ. ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು 1 cm ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರವು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ. ಈ ಘನದ ಘನಫಲವನ್ನು π ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿರಿ.

10. 7 cm ಅಂಚುಳ್ಳ ಘನದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದ ಘನಫಲವೇನು?

2. ರಾಚೆಲ್ ಒಬ್ಬಳು ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿನಿ. ಅವಳು ತೆಳುವಾದ ಅಲ್ಯುಮಿನಿಯಂ ಹಾಳೆಯಿಂದ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎರಡು ವೃತ್ತ ಪಾದಗಳಲ್ಲಿ ಶಂಕುವನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಯಾರು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯಾಸವು 3 cm ಮತ್ತು ಅದರ ಒಟ್ಟಾರೆ ಉದ್ದವು 12 cm ಇದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರವು 2 cm ಆದರೆ ರಾಚೆಲ್ ಮಾಡಿದ ಈ ಮಾದರಿಯೊಳಗಿನ ಗಾಳಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಒಂದು ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನ್‍ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಘನಫಲದ ಶೇ 30 ರಷ್ಟು ಸಕ್ಕರೆಯ ಪಾಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಇದ್ದು, ಅದರ ಎರಡು ಅಂತ್ಯ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧಗೋಳಗಳಿವೆ. ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನಿನ ಒಟ್ಟಾರೆ ಉದ್ದ 5 cm ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸವು 2.8 cm ಆದರೆ, 45 ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನ್‍ನಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಕ್ಕರೆ ಪಾಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಆಕಾರದ ಮರದ ಲೇಖನಧಾರಕ (Pen stand)ದಲ್ಲಿ ಲೇಖನಿಗಳನ್ನು ಇಡಲು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ನಾಲ್ಕು ತಗ್ಗುಗಳನ್ನು ಕೊರೆದಿದೆ. ಆಯತ ಘನಾಕೃತಿಯ ಅಳತೆಯು 15 cm × 10 cm × 3.5 cm ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 0.5cm ಮತ್ತು ಆಳವು 1.4 cm ಇದೆ. ಲೇಖನಧಾರಕದಲ್ಲಿನ ಮರದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ಒಂದು ಪಾತ್ರೆಯು ತಲೆಕೆಳಗಾದ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರ ಎತ್ತರ 8 cm ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 5 cm ಇದೆ. ಅದರ ಅಂಚಿನವರೆಗೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೀರನ್ನು ತುಂಬಿದೆ. ಈ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ 0.5 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸೀಸದ ಗುಂಡುಗಳನ್ನು ಹಾಕಿದಾಗ, ನಾಲ್ಕನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ನೀರು ಹೊರ ಚೆಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದ ಸೀಸದ ಗೋಳಗಳೆಷ್ಟು?

6. 220 cm ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 24 cm ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನಾಕಾರದ ಕಬ್ಬಿಣದ ಕಂಬದ ಮೇಲೆ 60 cm ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 8 cm ತ್ರಿಜ್ಯ ಇರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಿಲಿಂಡರನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದೆ. 1 cm³ ಕಬ್ಬಿಣದ ಸರಿಸುಮಾರು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು 8 g ಆದರೆ ಕಂಬದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (π = 3.14 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

7. ಒಂದು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಬಟ್ಟಲಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 7 cm. ಅದರ ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವೇನು? (ದಪ್ಪವನ್ನು ಕಡೆಗಣಿಸಿ).

8. ಎರಡು ಗೋಳಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಅನುಪಾತ 1:4 ಆದರೆ, ಅವುಗಳ ಘನಫಲಗಳ ಅನುಪಾತವೇನು?

7. 60 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಪಾದದ ಮೇಲೆ 120 cm ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 60 cm ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ವೃತ್ತ ಪಾದ ಶಂಕುವನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿದ ನೇರ ವೃತ್ತಪಾದ ಸಿಲಿಂಡರಿನಲ್ಲಿ ತಳವನ್ನು ಮುಟ್ಟುವಂತೆ ನೇರವಾಗಿ ಈ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ಮುಳುಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವು 60 cm ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು 180 cm ಆದರೆ ಸಿಲಿಂಡರಿನಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. 8.5 cm ವ್ಯಾಸವುಳ್ಳ ಒಂದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಗಾಜಿನ ಪಾತ್ರೆಯು 8 cm ಉದ್ದ ಮತ್ತು 2 cm ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಆಕಾರದ ಕೊರಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ಮಗುವು ಅದರಲ್ಲಿ ಹಿಡಿಯುವ ನೀರಿನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಘನಫಲವು 345 cm³ ಇದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ. ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಳತೆಗಳು ಅದರ ಒಳಭಾಗದ ಅಳತೆಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅವಳ ಉತ್ತರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ. (π = 3.14 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ).

1. ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವೇನು?

2. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

3. ಅರ್ಧಗೋಳದ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವೇನು?

4. ಒಂದು ಘನವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಆಕಾರದ ಘನವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅದರ ಘನಫಲದಲ್ಲಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

5. ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರವೇನು?

6. 'r' ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು 'l' ಓರೆ ಎತ್ತರವಿರುವ ಶಂಕುವಿನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವೇನು?

7. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಶಂಕು ಒಂದೇ ಪಾದ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಘನಫಲಗಳ ಅನುಪಾತವೇನು?

8. ಅರ್ಧಗೋಳದ ಘನಫಲದ ಸೂತ್ರವೇನು?

9. ಎರಡು ಘನಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಹೊಸ ಘನದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಆ ಎರಡು ಘನಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳ ಮೊತ್ತವೇ?

10. 1 m³ ಗೆ ಎಷ್ಟು ಲೀಟರ್‌ಗಳು?

1. ಎರಡು ಸಮಾನ ಘನಗಳ ಘನಫಲ 64 cm³ ಆಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ತುದಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಜೋಡಿಸಿದಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ಆಯತ ಘನದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 7 cm ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 10 cm ಇದೆ. ಅದರ ಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯ 3 cm ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 4 cm ಆದರೆ, ಅದರ ಓರೆ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. 4.2 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಲೋಹದ ಗೋಳವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ 6 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಸಿಲಿಂಡರಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಒಂದು ಬಾವಿಯ ವ್ಯಾಸ 3.5 m ಮತ್ತು ಆಳ 10 m. ಬಾವಿಯನ್ನು ತೋಡಿದಾಗ ಬಂದ ಮಣ್ಣನ್ನು ಹರಡಿ 8.75 m × 2.5 m ಅಳತೆಯ ವೇದಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ವೇದಿಕೆಯ ಎತ್ತರವೇನು?

3. 12 cm ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು 15 cm ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಪಾತ್ರೆಯು ಐಸ್‌ಕ್ರೀಮ್‌ನಿಂದ ತುಂಬಿದೆ. ಇದನ್ನು 12 cm ಎತ್ತರ ಮತ್ತು 6 cm ವ್ಯಾಸವಿರುವ ಶಂಕುಗಳಲ್ಲಿ (ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳದೊಂದಿಗೆ) ತುಂಬಬೇಕಾಗಿದೆ. ಎಷ್ಟು ಕೋನ್‌ಗಳನ್ನು ತುಂಬಬಹುದು?

4. ನೀರು ತುಂಬಿರುವ ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ ಟ್ಯಾಂಕ್‍ನಿಂದ ಪೈಪ್ ಮೂಲಕ ನೀರನ್ನು ಖಾಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಪೈಪ್‍ನ ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನೀರಿನ ವೇಗ ಕೊಟ್ಟಾಗ, ಟ್ಯಾಂಕ್ ಅರ್ಧ ಖಾಲಿಯಾಗಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯವೇನು?

5. ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ 30 cm. ಪಾದಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಶಂಕುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದೆ. ಚಿಕ್ಕ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲವು ಮೂಲ ಶಂಕುವಿನ 1/27 ರಷ್ಟಿದ್ದರೆ, ಪಾದದಿಂದ ಎಷ್ಟು ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ?

6. ಒಂದು ಟೆಂಟ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಮೇಲೆ ಶಂಕುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಿಲಿಂಡರ್ ಭಾಗದ ಎತ್ತರ 2.1m, ವ್ಯಾಸ 4m. ಶಂಕುವಿನ ಓರೆ ಎತ್ತರ 2.8m. ಟೆಂಟ್ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬೇಕಾದ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ವೆಚ್ಚ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ದರ ₹500/m²).

7. ಒಂದು ಆಟಿಕೆ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಶಂಕು ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ 3.5 cm, ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರ 15.5 cm. ಇದರ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. ಒಂದು ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಎರಡು ಕಡೆ ಅರ್ಧಗೋಳಗಳಿವೆ. ಒಟ್ಟು ಉದ್ದ 5 cm, ವ್ಯಾಸ 2.8 cm. 45 ಗುಲಾಬ್ ಜಾಮೂನ್‍ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಿರಪ್ ಪ್ರಮಾಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (30%).

9. 6 m ಅಗಲ ಮತ್ತು 1.5 m ಆಳವಿರುವ ಕಾಲುವೆಯಲ್ಲಿ ನೀರು 10 km/h ವೇಗದಲ್ಲಿ ಹರಿಯುತ್ತಿದೆ. 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಎಷ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ನೀರುಣಿಸುತ್ತದೆ? (8 cm ನಿಂತ ನೀರು ಬೇಕಿದ್ದರೆ).

10. 15 cm ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಕಬ್ಬಿಣದ ಗೋಳವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ, ಮೂಲ ಗೋಳದಷ್ಟೇ ಎತ್ತರವಿರುವ ಶಂಕುವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಶಂಕುವಿನ ಪಾದದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಶಂಕು ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್‍ನ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಸೂತ್ರಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

1. ಒಂದು ಲೋಹದ ಬಕೆಟ್ ಶಂಕುವಿನ ಭಿನ್ನಕ (Frustum) ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ (ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನಕದ ಉಲ್ಲೇಖವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಿಲಿಂಡರ್/ಶಂಕು ಸಂಯೋಜನೆ). ಪ್ರಶ್ನೆ: ಒಂದು ಟ್ಯಾಂಕರ್ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಎರಡು ಕಡೆ ಅರ್ಧಗೋಳಗಳಿವೆ. ಟ್ಯಾಂಕರ್ ನ ಉದ್ದ 5 m, ವ್ಯಾಸ 2 m. ಟ್ಯಾಂಕರ್ ತುಂಬಲು ಬೇಕಾದ ಪೆಟ್ರೋಲ್ ಪ್ರಮಾಣ (ಲೀಟರ್ ಗಳಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಟ್ಯಾಂಕರ್ ನ ಹೊರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. 1.4 cm ವ್ಯಾಸವಿರುವ ಗೋಲಿಗಳನ್ನು (Marbles) 7 cm ವ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ನೀರಿರುವ ಬೀಕರ್ ನಲ್ಲಿ ಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ನೀರಿನ ಮಟ್ಟವು 5.6 cm ಏರಲು ಎಷ್ಟು ಗೋಲಿಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು?

3. ಒಂದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಪಾತ್ರೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ 6 cm ಮತ್ತು ಎತ್ತರ 15 cm. ಇದರಲ್ಲಿ ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ತುಂಬಿದೆ. ಇದನ್ನು 10 ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿ ಶಂಕುಗಳಲ್ಲಿ (ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳವಿರುವ) ಹಂಚಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಸಿಗುವ ಶಂಕುವಿನ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರವು ತ್ರಿಜ್ಯದ 2 ರಷ್ಟಿದ್ದರೆ).

4. ಒಂದು ಕೊಠಡಿಯು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದು ಮೇಲೆ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಛಾವಣಿ ಇದೆ. ಕೊಠಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಗಾಳಿಯ ಘನಫಲ 41 19/21 m³. ಕೊಠಡಿಯ ಒಳ ವ್ಯಾಸವು ಅದರ ಒಟ್ಟು ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಠಡಿಯ ಎತ್ತರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. 60 cm ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲೆ 120 cm ಎತ್ತರದ ಶಂಕುವನ್ನು ಜೋಡಿಸಿ ಒಂದು ಘನವನ್ನು ಮಾಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿದ ಸಿಲಿಂಡರ್ ನಲ್ಲಿ ಮುಳುಗಿಸಿದಾಗ ಹೊರಚೆಲ್ಲುವ ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ ನಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುವ ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ (ಸಿಲಿಂಡರ್ ತ್ರಿಜ್ಯ 60 cm, ಎತ್ತರ 180 cm).

1. ಜೋಡಿಸಿದ ಘನಗಳ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಿ.

2. ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಾಣುವ ಸಂಯೋಜಿತ ಘನಗಳಿಗೆ ಐದು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವ ಮೂಲ ಘನಗಳಿಂದ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸಿ.

3. ಒಂದು ಘನವನ್ನು ಕರಗಿಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಘನವನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿ.

5. ಟೊಳ್ಳಾದ ಸಿಲಿಂಡರ್ (ಪೈಪ್) ನ ಘನಫಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.