8. cot A = 15/8 ಆದರೆ (2 + 2sin A)(1 - sin A) / (1 + cos A)(2 - 2cos A) ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. 1 + cos θ / 1 - cos θ = (cosec θ + cot θ)2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 1: tan A = 4/3 ಆದರೆ ಕೋನ A ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: B ಮತ್ತು Q ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು sin B = sin Q ಆಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ B = Q ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ∆ACB ಯಲ್ಲಿ, C ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, AB = 29 ಮಾನಗಳು, BC = 21 ಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ∠ABC = θ (ಚಿತ್ರ 8.10 ನೋಡಿ) ಆದರೆ, ಇವುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. i) cos2 θ + sin2 θ ii) cos2 θ - sin2 θ

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. tan A = 1 ಆದರೆ, 2sin A cos A = 1 ಆಗಿದೆಯೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5: ∆OPQ ನಲ್ಲಿ, P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. OP = 7cm ಮತ್ತು OQ - PQ = 1cm (ಚಿತ್ರ 8.12 ನೋಡಿ) sin Q ಮತ್ತು cos Q ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6: ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಏರ್ಪಟ್ಟಿದೆ. AB = 5cm ಮತ್ತು ∠ACB = 30° (ಚಿತ್ರ 8.19 ನೋಡಿ) BC ಮತ್ತು AC ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 7: ∆PQR ನಲ್ಲಿ, Q = 90°, PQ = 3cm, ಮತ್ತು PR = 6cm. ∠QPR ಮತ್ತು ∠PRQ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. (sec A - tan A)2 = (1 - sin A) / (1 + sin A) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 8: sin (A - B) = 1/2, cos (A + B) = 1/2, 0° < A + B ≤ 90°, A > B ಆಗಿದ್ದರೆ, A ಮತ್ತು B ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 9: cos A, tan A ಮತ್ತು sec A ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು sin A ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 10: sec A (1 - sin A)(sec A + tan A) = 1 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 11: (cot A - cos A) / (cot A + cos A) = (cosec A - 1) / (cosec A + 1) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 12: sec2 θ = 1 + tan2 θ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ ಬಳಸಿ, (sin θ - cos θ + 1) / (sin θ + cos θ - 1) = 1 / (sec θ - tan θ) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

1. ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. AB = 24cm, BC = 7cm ಆದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. i) sin A, cos A ii) sin C, cos C

2. ಚಿತ್ರ 8.13 ರಲ್ಲಿ tan P - cot R ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ=12, PR=13).

3. sin A = 3/4 ಆದರೆ, cos A ಮತ್ತು tan A ಬೆಲೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ.

4. 15 cot A = 8 ಆದರೆ, sin A ಮತ್ತು sec A ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. sec θ = 13/12 ಆದರೆ, ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. A ಮತ್ತು B ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು cos A = cos B ಆಗಿದೆ. A = B ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

7. cot θ = 7/8 ಆದರೆ, i) (1+sin θ)(1-sin θ) / (1+cos θ)(1-cos θ) ii) cot2 θ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. 3 cot A = 4 ಆದರೆ, (1 - tan2 A) / (1 + tan2 A) = cos2 A - sin2 A ಆಗಿದೆಯೇ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

9. ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B = 90°, tan A = 1/√3 ಆದರೆ i) sin A cos C + cos A sin C ii) cos A cos C - sin A sin C ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. x = a sec θ + b tan θ, y = a tan θ + b sec θ ಆದರೆ x2 - y2 = a2 - b2 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

10. ∆PQR ನಲ್ಲಿ Q = 90°, PR + QR = 25cm ಮತ್ತು PQ = 5 ಆಗಿದೆ. sin P, cos P ಮತ್ತು tan P ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

11. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸರಿಯೇ ಅಥವಾ ತಪ್ಪೇ ತಿಳಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಆರಿಸಿ, ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

3. tan (A + B) = √3 ಮತ್ತು tan (A - B) = 1/√3 DVzÉ. ಇಲ್ಲಿ 0 < A + B ≤ 90°; A > B ಆದರೆ, A ಮತ್ತು B ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ತಿಳಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

1. sin A, sec A ಮತ್ತು tan A ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು cot A ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

2. A ನ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು sec A ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

3. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಆರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ.

5. 7 sin2 θ + 3 cos2 θ = 4 ಆದರೆ tan θ = 1/√3 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

6. cos A / (1 - tan A) + sin A / (1 - cot A) = sin A + cos A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

7. sec4 A - sec2 A = tan4 A + tan2 A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

4. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

1. sin 90° ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

2. tan A = 1 ಆದರೆ A ಕೋನದ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

3. sin2 20° + cos2 20° ರ ಬೆಲೆ ಏನು?

4. sec A ಮತ್ತು cos A ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೇನು?

5. cot 0° ಯ ಬೆಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ?

6. sin 30° ಮತ್ತು cos 60° ಸಮವೇ?

7. 1 - sin2 A = ?

8. cosec 30° ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

9. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಉದ್ದವಾದ ಬಾಹು ಯಾವುದು?

10. tan θ × cot θ = ?

1. sin A = 5/13 ಆದರೆ cos A ಮತ್ತು tan A ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. sin 3A = cos (A - 26°), 3A ಲಘುಕೋನವಾದರೆ A ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. tan A = cot B ಆದರೆ A + B = 90° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

5. ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯಲ್ಲಿ sin (A+B)/2 = cos C/2 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

6. (sec A + tan A)(1 - sin A) = cos A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

7. 5 tan A = 4 ಆದರೆ (5sin A - 3cos A)/(5sin A + 2cos A) ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

8. cosec 31° - sec 59° ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

9. x = a cos θ, y = b sin θ ಆದರೆ b2x2 + a2y2 = a2b2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

10. tan θ = 1 ಆದರೆ sin θ + cos θ ಬೆಲೆ ಏನು?

1. (tan θ / (1 - cot θ)) + (cot θ / (1 - tan θ)) = 1 + sec θ cosec θ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

10. ತ್ರಿಭುಜ PQR ನಲ್ಲಿ Q=90, tan P = 1/√3, tan R = √3. sin P cos R + cos P sin R ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

1. √[(1 + sin A)/(1 - sin A)] = sec A + tan A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

2. (sin θ - 2sin3 θ) / (2cos3 θ - cos θ) = tan θ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

3. (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1 / (tan A + cot A) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

4. tan2 A - tan2 B = (sin2 A - sin2 B) / (cos2 A cos2 B) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

5. p = sec θ + tan θ ಆದರೆ (p2 - 1)/(p2 + 1) = sin θ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

1. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದ ಬಾಹುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿ.

2. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು sin2 A + cos2 A = 1 ನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

3. ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಬರೆಯಿರಿ.

4. 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ಕೋನಗಳಿಗೆ sin ಮತ್ತು cos ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ.

5. "ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ" ಎಂಬ ಪದದ ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.