Question 1

8. cot A = 15/8 ಆದರೆ (2 + 2sin A)(1 - sin A) / (1 + cos A)(2 - 2cos A) ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: = 2(1-sin2)/2(1-cos2) = cos2/sin2 = cot2 A = 225/64.

Question 2

3. 1 + cos θ / 1 - cos θ = (cosec θ + cot θ)2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: RHS = (1/sin + cos/sin)2 = (1+cos)2/sin2 = (1+cos)2/(1-cos2) = (1+cos)/(1-cos).

Question 3

ಉದಾಹರಣೆ 1: tan A = 4/3 ಆದರೆ ಕೋನ A ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯಲ್ಲಿ B = 90° ಆಗಿರಲಿ. • tan A = BC/AB = 4/3. • BC = 4k ಮತ್ತು AB = 3k ಆಗಿರಲಿ (k ಧನಸಂಖ್ಯೆ). • ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ: AC2 = AB2 + BC2 AC2 = (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2 AC = 5k. • ಈಗ ಅನುಪಾತಗಳು: sin A = BC/AC = 4k/5k = 4/5 cos A = AB/AC = 3k/5k = 3/5 cot A = 1/tan A = 3/4 cosec A = 1/sin A = 5/4 sec A = 1/cos A = 5/3,.

Question 4

ಉದಾಹರಣೆ 2: B ಮತ್ತು Q ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು sin B = sin Q ಆಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ B = Q ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಎರಡು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜಗಳು ABC ಮತ್ತು PQR ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. • sin B = AC/AB ಮತ್ತು sin Q = PR/PQ. • ದತ್ತ: sin B = sin Q ⇒ AC/AB = PR/PQ. • AC/PR = AB/PQ = k ಎಂದುಕೊಳ್ಳೋಣ. • ಆಗ AC = k(PR) ಮತ್ತು AB = k(PQ). • ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆ: BC = √(AB2 - AC2) ಮತ್ತು QR = √(PQ2 - PR2) BC/QR = √(k2PQ2 - k2PR2) / √(PQ2 - PR2) BC/QR = k √(PQ2 - PR2) / √(PQ2 - PR2) = k. • ಹೀಗಾಗಿ AC/PR = AB/PQ = BC/QR = k. • ∴ ತ್ರಿಭುಜ ABC ~ ತ್ರಿಭುಜ PQR (SSS ಸಮರೂಪತೆ). • ∴ ಕೋನ B = ಕೋನ Q,.

Question 5

ಉದಾಹರಣೆ 3: ∆ACB ಯಲ್ಲಿ, C ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ, AB = 29 ಮಾನಗಳು, BC = 21 ಮಾನಗಳು ಮತ್ತು ∠ABC = θ (ಚಿತ್ರ 8.10 ನೋಡಿ) ಆದರೆ, ಇವುಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. i) cos2 θ + sin2 θ ii) cos2 θ - sin2 θ

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • AC = √(AB2 - BC2) = √(292 - 212) = √((29-21)(29+21)) = √(8 * 50) = √400 = 20 ಮಾನಗಳು. • sin θ = AC/AB = 20/29 • cos θ = BC/AB = 21/29 i) cos2 θ + sin2 θ = (21/29)2 + (20/29)2 = (441 + 400) / 841 = 841/841 = 1. ii) cos2 θ - sin2 θ = (21/29)2 - (20/29)2 = (441 - 400) / 841 = 41/841,.

Question 6

ಉದಾಹರಣೆ 4: ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. tan A = 1 ಆದರೆ, 2sin A cos A = 1 ಆಗಿದೆಯೇ? ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • tan A = BC/AB = 1 ⇒ BC = AB = k. • AC = √(k2 + k2) = √(2k2) = k√2. • sin A = BC/AC = k / (k√2) = 1/√2. • cos A = AB/AC = k / (k√2) = 1/√2. • 2sin A cos A = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 2 × (1/2) = 1. • ಹೌದು, ಇದು ಸರಿಯಾಗಿದೆ,.

Question 7

ಉದಾಹರಣೆ 5: ∆OPQ ನಲ್ಲಿ, P ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. OP = 7cm ಮತ್ತು OQ - PQ = 1cm (ಚಿತ್ರ 8.12 ನೋಡಿ) sin Q ಮತ್ತು cos Q ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • OQ2 = OP2 + PQ2 (ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) • (1 + PQ)2 = 72 + PQ2 (OQ = 1 + PQ ಆದೇಶಿಸಿದಾಗ) • 1 + PQ2 + 2PQ = 49 + PQ2 • 1 + 2PQ = 49 ⇒ 2PQ = 48 ⇒ PQ = 24 cm. • OQ = 1 + 24 = 25 cm. • sin Q = OP/OQ = 7/25. • cos Q = PQ/OQ = 24/25,.

Question 8

ಉದಾಹರಣೆ 6: ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನ ಏರ್ಪಟ್ಟಿದೆ. AB = 5cm ಮತ್ತು ∠ACB = 30° (ಚಿತ್ರ 8.19 ನೋಡಿ) BC ಮತ್ತು AC ಬಾಹುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • tan C = AB/BC ⇒ tan 30° = 5/BC. • 1/√3 = 5/BC ⇒ BC = 5√3 cm. • sin 30° = AB/AC ⇒ 1/2 = 5/AC. • AC = 10 cm,.

Question 9

ಉದಾಹರಣೆ 7: ∆PQR ನಲ್ಲಿ, Q = 90°, PQ = 3cm, ಮತ್ತು PR = 6cm. ∠QPR ಮತ್ತು ∠PRQ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • sin R = PQ/PR = 3/6 = 1/2. • sin 30° = 1/2 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ∠PRQ (∠R) = 30°. • ತ್ರಿಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180° ⇒ ∠P + 90° + 30° = 180°. • ∠QPR (∠P) = 60°,.

Question 10

4. (sec A - tan A)2 = (1 - sin A) / (1 + sin A) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: LHS = (1/cos - sin/cos)2 = (1-sin)2/cos2 = (1-sin)2/(1-sin2) = (1-sin)/(1+sin).

Question 11

ಉದಾಹರಣೆ 8: sin (A - B) = 1/2, cos (A + B) = 1/2, 0° < A + B ≤ 90°, A > B ಆಗಿದ್ದರೆ, A ಮತ್ತು B ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • sin(A - B) = 1/2 ⇒ A - B = 30° ... (1) • cos(A + B) = 1/2 ⇒ A + B = 60° ... (2) • (1) ಮತ್ತು (2) ನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದಾಗ: 2A = 90° ⇒ A = 45°. • B = 60° - 45° = 15°. • A = 45°, B = 15°.

Question 12

ಉದಾಹರಣೆ 9: cos A, tan A ಮತ್ತು sec A ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು sin A ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cos2 A + sin2 A = 1 ⇒ cos A = √(1 - sin2 A). • tan A = sin A / cos A = sin A / √(1 - sin2 A). • sec A = 1 / cos A = 1 / √(1 - sin2 A).

Question 13

ಉದಾಹರಣೆ 10: sec A (1 - sin A)(sec A + tan A) = 1 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಎಡಭಾಗ = (1/cos A) (1 - sin A) (1/cos A + sin A/cos A) • = [(1 - sin A)/cos A] × [(1 + sin A)/cos A] • = (1 - sin2 A) / cos2 A • = cos2 A / cos2 A = 1 = ಬಲಭಾಗ.

Question 14

ಉದಾಹರಣೆ 11: (cot A - cos A) / (cot A + cos A) = (cosec A - 1) / (cosec A + 1) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಎಡಭಾಗ = [(cos A/sin A) - cos A] / [(cos A/sin A) + cos A] • ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ cos A ಹೊರತೆಗೆದಾಗ: • = cos A [(1/sin A) - 1] / cos A [(1/sin A) + 1] • = (cosec A - 1) / (cosec A + 1) = ಬಲಭಾಗ.

Question 15

ಉದಾಹರಣೆ 12: sec2 θ = 1 + tan2 θ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ ಬಳಸಿ, (sin θ - cos θ + 1) / (sin θ + cos θ - 1) = 1 / (sec θ - tan θ) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಎಡಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು cos θ ದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ: = (tan θ - 1 + sec θ) / (tan θ + 1 - sec θ) = [(tan θ + sec θ) - 1] / [tan θ - sec θ + 1] • 1 = sec2 θ - tan2 θ = (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) ಎಂದು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿ: = [(tan θ + sec θ) - (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ)] / [tan θ - sec θ + 1] • (tan θ + sec θ) ಹೊರತೆಗೆದಾಗ: = (tan θ + sec θ) [1 - (sec θ - tan θ)] / [tan θ - sec θ + 1] = (tan θ + sec θ) [1 - sec θ + tan θ] / [tan θ - sec θ + 1] = tan θ + sec θ • ಬಲಭಾಗ = 1 / (sec θ - tan θ) ಛೇದವನ್ನು ಕರಣೀಕರಿಸಿದಾಗ: (sec θ + tan θ) / (sec2 θ - tan2 θ) = sec θ + tan θ. • ಎಡಭಾಗ = ಬಲಭಾಗ,.

Question 16

1. ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B ಯಲ್ಲಿ ಲಂಬಕೋನವಾಗಿದೆ. AB = 24cm, BC = 7cm ಆದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. i) sin A, cos A ii) sin C, cos C

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • AC2 = AB2 + BC2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625. • AC = 25 cm. i) sin A = BC/AC = 7/25; cos A = AB/AC = 24/25. ii) sin C = AB/AC = 24/25; cos C = BC/AC = 7/25.

Question 17

2. ಚಿತ್ರ 8.13 ರಲ್ಲಿ tan P - cot R ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ PQ=12, PR=13).

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • QR2 = PR2 - PQ2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25. • QR = 5 cm. • tan P = QR/PQ = 5/12. • cot R = QR/PQ = 5/12. • tan P - cot R = 5/12 - 5/12 = 0.

Question 18

3. sin A = 3/4 ಆದರೆ, cos A ಮತ್ತು tan A ಬೆಲೆ ಲೆಕ್ಕಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • ಅಭಿಮುಖ = 3k, ವಿಕರ್ಣ = 4k. • ಪಾರ್ಶ್ವ2 = (4k)2 - (3k)2 = 16k2 - 9k2 = 7k2. • ಪಾರ್ಶ್ವ = √7 k. • cos A = √7/4. • tan A = 3/√7.

Question 19

4. 15 cot A = 8 ಆದರೆ, sin A ಮತ್ತು sec A ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cot A = 8/15 (ಪಾರ್ಶ್ವ/ಅಭಿಮುಖ). • ವಿಕರ್ಣ = √(82 + 152) = √(64 + 225) = √289 = 17. • sin A = ಅಭಿಮುಖ/ವಿಕರ್ಣ = 15/17. • sec A = ವಿಕರ್ಣ/ಪಾರ್ಶ್ವ = 17/8.

Question 20

5. sec θ = 13/12 ಆದರೆ, ಉಳಿದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • sec θ = ವಿಕರ್ಣ/ಪಾರ್ಶ್ವ = 13/12. • ಅಭಿಮುಖ = √(132 - 122) = √(169 - 144) = 5. • sin θ = 5/13, cos θ = 12/13, tan θ = 5/12, cot θ = 12/5, cosec θ = 13/5.

Question 21

6. A ಮತ್ತು B ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದು cos A = cos B ಆಗಿದೆ. A = B ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cos A = cos B ⇒ ಪಾರ್ಶ್ವ/ವಿಕರ್ಣ ಅನುಪಾತಗಳು ಸಮ. • ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಂತೆ, ತ್ರಿಭುಜಗಳು ಸಮರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ AC = BC ಆಗಿರುತ್ತದೆ. • ಸಮಬಾಹುಗಳಿಗೆ ಎದುರಿರುವ ಕೋನಗಳು ಸಮ. ∴ ∠A = ∠B.

Question 22

7. cot θ = 7/8 ಆದರೆ, i) (1+sin θ)(1-sin θ) / (1+cos θ)(1-cos θ) ii) cot2 θ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: i) (1 - sin2 θ) / (1 - cos2 θ) = cos2 θ / sin2 θ = cot2 θ. cot2 θ = (7/8)2 = 49/64. ii) cot2 θ = 49/64.

Question 23

8. 3 cot A = 4 ಆದರೆ, (1 - tan2 A) / (1 + tan2 A) = cos2 A - sin2 A ಆಗಿದೆಯೇ ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cot A = 4/3 ⇒ tan A = 3/4. • ಎಡಭಾಗ = (1 - 9/16) / (1 + 9/16) = (7/16) / (25/16) = 7/25. • tan A = 3/4 ⇒ sin A = 3/5, cos A = 4/5 (3,4,5 ತ್ರಿವಳಿ). • ಬಲಭಾಗ = (4/5)2 - (3/5)2 = 16/25 - 9/25 = 7/25. • ಹೌದು, ಸರಿಯಾಗಿದೆ.

Question 24

9. ∆ABC ಯಲ್ಲಿ, B = 90°, tan A = 1/√3 ಆದರೆ i) sin A cos C + cos A sin C ii) cos A cos C - sin A sin C ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • tan A = 1/√3 ⇒ A = 30°. • C = 90° - 30° = 60°. i) sin 30 cos 60 + cos 30 sin 60 = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2) = 1/4 + 3/4 = 1. ii) cos 30 cos 60 - sin 30 sin 60 = (√3/2)(1/2) - (1/2)(√3/2) = 0.

Question 25

9. x = a sec θ + b tan θ, y = a tan θ + b sec θ ಆದರೆ x2 - y2 = a2 - b2 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: x2 - y2 ಮಾಡಿ, (sec2-tan2)=1 ಬಳಸಿ.

Question 26

10. ∆PQR ನಲ್ಲಿ Q = 90°, PR + QR = 25cm ಮತ್ತು PQ = 5 ಆಗಿದೆ. sin P, cos P ಮತ್ತು tan P ಗಳ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • PR = 25 - QR. • PR2 = PQ2 + QR2 • (25 - QR)2 = 52 + QR2 • 625 + QR2 - 50QR = 25 + QR2 • 50QR = 600 ⇒ QR = 12 cm. • PR = 13 cm. • sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5.

Question 27

11. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸರಿಯೇ ಅಥವಾ ತಪ್ಪೇ ತಿಳಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

Accepted Answer

i) tan A ಬೆಲೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. • ತಪ್ಪು. tan 60° = √3 > 1. ii) ಕೋನ A ದ ಯಾವುದಾದರು ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ sec A = 12/5 ಆಗಿದೆ. • ಸರಿ. sec A > 1 ಆಗಿರಬೇಕು (12/5 = 2.4 > 1). iii) ಕೋನ A ದ cosecant A ಅನ್ನು cos A ಎಂದು ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿದೆ. • ತಪ್ಪು. cos A ಎಂಬುದು cosine A ನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪ. iv) cot A ಎಂಬುದು cot ಮತ್ತು A ಗಳ ನಡುವಿನ ಗುಣಲಬ್ಧ. • ತಪ್ಪು. A ಇಲ್ಲದೆ cot ಗೆ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. v) θ ದ ಒಂದು ಬೆಲೆಗೆ sin θ = 4/3 ಆಗಿದೆ. • ತಪ್ಪು. sin θ ಬೆಲೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (4/3 > 1).

Question 28

1. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1. ii) 2tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° = 2(1)2 + (√3/2)2 - (√3/2)2 = 2 + 3/4 - 3/4 = 2. iii) cos 45° / (sec 30° + cosec 30°) = (1/√2) / (2/√3 + 2) = (1/√2) / [(2 + 2√3)/√3] = √3 / [√2(2 + 2√3)] = √3 / (2√2 + 2√6). iv) (sin 30° + tan 45° - cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°) = (1/2 + 1 - 2/√3) / (2/√3 + 1/2 + 1) = (3/2 - 2/√3) / (3/2 + 2/√3) = [(3√3 - 4)/2√3] / [(3√3 + 4)/2√3] = (3√3 - 4) / (3√3 + 4). v) (5 cos2 60° + 4sec2 30° - tan2 45°) / (sin2 30° + cos2 30°) = [5(1/2)2 + 4(2/√3)2 - 1] / 1 = 5/4 + 16/3 - 1 = (15 + 64 - 12) / 12 = 67/12.

Question 29

2. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಆರಿಸಿ, ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

Accepted Answer

i) 2 tan 30° / (1 + tan2 30°) = = 2(1/√3) / (1 + 1/3) = (2/√3) / (4/3) = (2/√3) × (3/4) = √3/2 = sin 60°. ಉತ್ತರ: A) sin 60°. ii) (1 - tan2 45°) / (1 + tan2 45°) = = (1 - 1) / (1 + 1) = 0. ಉತ್ತರ: D) 0. iii) sin 2A = 2 sin A ಎಂಬುದು A ನ ಯಾವ ಬೆಲೆಗೆ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ. A=0°: sin 0 = 0, 2 sin 0 = 0. ಸರಿ. ಉತ್ತರ: A) 0°. iv) 2 tan 30° / (1 - tan2 30°) = = 2(1/√3) / (1 - 1/3) = (2/√3) / (2/3) = 3/√3 = √3 = tan 60°. ಉತ್ತರ: C) tan 60°,.

Question 30

3. tan (A + B) = √3 ಮತ್ತು tan (A - B) = 1/√3 DVzÉ. ಇಲ್ಲಿ 0 < A + B ≤ 90°; A > B ಆದರೆ, A ಮತ್ತು B ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • A + B = 60° (tan 60 = √3) • A - B = 30° (tan 30 = 1/√3) • ಕೂಡಿಸಿದಾಗ: 2A = 90° ⇒ A = 45°. • ಕಳೆದಾಗ: 2B = 30° ⇒ B = 15°.

Question 31

4. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸರಿ ಅಥವಾ ತಪ್ಪು ತಿಳಿಸಿ ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಿ.

Accepted Answer

i) sin (A + B) = sin A + sin B • ತಪ್ಪು. A=30, B=60 ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ sin(90)=1, ಆದರೆ sin30+sin60 ≠ 1. ii) θ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ sin θ ಬೆಲೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. • ಸರಿ. 0 ಇಂದ 1 ರವರೆಗೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ (0° ಯಿಂದ 90° ಗೆ). iii) θ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ cos θ ಬೆಲೆಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತದೆ. • ತಪ್ಪು. 1 ರಿಂದ 0 ರವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. iv) θ ದ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ sin θ = cos θ ಆಗಿದೆ. • ತಪ್ಪು. ಕೇವಲ 45° ಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಮ. v) A = 0° ಗೆ cot A ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿಲ್ಲ. • ಸರಿ. cot 0 = 1/tan 0 = 1/0 (ಅವ್ಯಾಖ್ಯೇಯ).

Question 32

1. sin A, sec A ಮತ್ತು tan A ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು cot A ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cosec2 A = 1 + cot2 A ⇒ sin A = 1/√(1 + cot2 A). • sec2 A = 1 + tan2 A = 1 + 1/cot2 A = (cot2 A + 1)/cot2 A. sec A = √(cot2 A + 1) / cot A. • tan A = 1 / cot A.

Question 33

2. A ನ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು sec A ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: • cos A = 1/sec A. • sin2 A = 1 - cos2 A = 1 - 1/sec2 A = (sec2 A - 1)/sec2 A. sin A = √(sec2 A - 1) / sec A. • tan2 A = sec2 A - 1 ⇒ tan A = √(sec2 A - 1). • cot A = 1/tan A = 1/√(sec2 A - 1). • cosec A = 1/sin A = sec A / √(sec2 A - 1).

Question 34

3. ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಆರಿಸಿ ಬರೆಯಿರಿ.

Accepted Answer

i) 9 sec2 A - 9 tan2 A = = 9(sec2 A - tan2 A) = 9(1) = 9. ಉತ್ತರ: B) 9. ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ - cosec θ) = sin, cos ಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿದಾಗ ಉತ್ತರ 2 ಬರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರ: C) 2. iii) (sec A + tan A)(1 - sin A) = = (1/cos + sin/cos)(1 - sin) = (1+sin)(1-sin)/cos = (1-sin2)/cos = cos2/cos = cos A. ಉತ್ತರ: D) cos A. iv) (1 + tan2 A) / (1 + cot2 A) = = sec2 A / cosec2 A = (1/cos2) / (1/sin2) = sin2/cos2 = tan2 A. ಉತ್ತರ: D) tan2 A,.

Question 35

5. 7 sin2 θ + 3 cos2 θ = 4 ಆದರೆ tan θ = 1/√3 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: 4 sin2 + 3(sin2 + cos2) = 4 ⇒ 4 sin2 + 3 = 4. 4 sin2 = 1 ⇒ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30°. tan 30 = 1/√3.

Question 36

6. cos A / (1 - tan A) + sin A / (1 - cot A) = sin A + cos A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: tan, cot ಗಳನ್ನು sin, cos ಗೆ ಬದಲಿಸಿ. = cos2/(cos-sin) + sin2/(sin-cos) = (cos2 - sin2)/(cos-sin) = cos + sin.

Question 37

7. sec4 A - sec2 A = tan4 A + tan2 A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: LHS = sec2(sec2-1) = (1+tan2)(tan2) = tan2 + tan4.

Question 38

4. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

i) (cosec θ - cot θ)2 = (1 - cos θ) / (1 + cos θ) • LHS = (1/sin - cos/sin)2 = (1-cos)2/sin2 = (1-cos)2/(1-cos2) = (1-cos)/(1+cos). ii) cos A / (1 + sin A) + (1 + sin A) / cos A = 2 sec A • LHS = [cos2 + (1+sin)2] / [cos(1+sin)] = [cos2+1+sin2+2sin] / [cos(1+sin)] = (2+2sin)/[cos(1+sin)] = 2/cos = 2 sec A. iii) (tan θ / (1 - cot θ)) + (cot θ / (1 - tan θ)) = 1 + sec θ cosec θ • sin, cos ಗೆ ಬದಲಿಸಿ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ. iv) (1 + sec A) / sec A = sin2 A / (1 - cos A) • LHS = (cos+1)/1. RHS = (1-cos2)/(1-cos) = 1+cos. LHS=RHS. v) (cos A - sin A + 1) / (cos A + sin A - 1) = cosec A + cot A • ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು sin A ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ. vi) √[(1 + sin A) / (1 - sin A)] = sec A + tan A • ಕರಣೀಕರಿಸಿದಾಗ: √[(1+sin)2/cos2] = (1+sin)/cos = sec + tan. vii) (sin θ - 2sin3 θ) / (2cos3 θ - cos θ) = tan θ • tan …

Question 39

1. sin 90° ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 1

Question 40

2. tan A = 1 ಆದರೆ A ಕೋನದ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 45°

Question 41

3. sin2 20° + cos2 20° ರ ಬೆಲೆ ಏನು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 1

Question 42

4. sec A ಮತ್ತು cos A ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೇನು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: sec A = 1 / cos A

Question 43

5. cot 0° ಯ ಬೆಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಇಲ್ಲ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ - Not Defined)

Question 44

6. sin 30° ಮತ್ತು cos 60° ಸಮವೇ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ಹೌದು (ಎರಡೂ 1/2)

Question 45

7. 1 - sin2 A = ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: cos2 A

Question 46

8. cosec 30° ಯ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 2

Question 47

9. ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಭುಜದಲ್ಲಿ ಅತಿ ಉದ್ದವಾದ ಬಾಹು ಯಾವುದು?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: ವಿಕರ್ಣ (Hypotenuse)

Question 48

10. tan θ × cot θ = ?

Accepted Answer

ಉತ್ತರ: 1

Question 49

1. sin A = 5/13 ಆದರೆ cos A ಮತ್ತು tan A ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ವಿಕರ್ಣ 13, ಅಭಿಮುಖ 5. ಪಾರ್ಶ್ವ = √(169-25) = 12. cos A = 12/13, tan A = 5/12.

Question 50

2. 2 tan2 45° + cos2 30° - sin2 60° ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: = 2(1)2 + (√3/2)2 - (√3/2)2 = 2 + 3/4 - 3/4 = 2.

Question 51

3. sin 3A = cos (A - 26°), 3A ಲಘುಕೋನವಾದರೆ A ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: cos(90 - 3A) = cos(A - 26). 90 - 3A = A - 26 ⇒ 4A = 116 ⇒ A = 29°.

Question 52

4. tan A = cot B ಆದರೆ A + B = 90° ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: tan A = tan(90 - B). A = 90 - B ⇒ A + B = 90°.

Question 53

5. ತ್ರಿಭುಜ ABC ಯಲ್ಲಿ sin (A+B)/2 = cos C/2 ಎಂದು ತೋರಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: A+B+C = 180 ⇒ A+B = 180-C. (A+B)/2 = 90 - C/2. sin(90 - C/2) = cos C/2.

Question 54

6. (sec A + tan A)(1 - sin A) = cos A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (1/cos + sin/cos)(1-sin) = (1+sin)(1-sin)/cos = cos2/cos = cos A.

Question 55

7. 5 tan A = 4 ಆದರೆ (5sin A - 3cos A)/(5sin A + 2cos A) ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: tan A = 4/5. ಅಂಶ/ಛೇದವನ್ನು cos ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ. (5tan - 3)/(5tan + 2) = (4-3)/(4+2) = 1/6.

Question 56

8. cosec 31° - sec 59° ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: cosec 31 - cosec(90-59) = cosec 31 - cosec 31 = 0.

Question 57

9. x = a cos θ, y = b sin θ ಆದರೆ b2x2 + a2y2 = a2b2 ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: x/a = cos θ, y/b = sin θ. ವರ್ಗ ಮಾಡಿ ಕೂಡಿಸಿ: x2/a2 + y2/b2 = 1. ಲ.ಸಾ.ಅ ತೆಗೆದರೆ: b2x2 + a2y2 = a2b2.

Question 58

10. tan θ = 1 ಆದರೆ sin θ + cos θ ಬೆಲೆ ಏನು?

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: θ = 45°. sin 45 + cos 45 = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2.

Question 59

1. (tan θ / (1 - cot θ)) + (cot θ / (1 - tan θ)) = 1 + sec θ cosec θ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: sin, cos ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಲ.ಸಾ.ಅ ತೆಗೆದು ಸುಲಭೀಕರಿಸಿ. (ಅಭ್ಯಾಸ 8.3 ರ ಪ್ರಶ್ನೆ).

Question 60

2. (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: (a+b)2 ವಿಸ್ತರಣೆ ಬಳಸಿ, sin2+cos2=1 ಹಾಕಿ. sin cosec=1, cos sec=1 ಬಳಸಿ.

Question 61

10. ತ್ರಿಭುಜ PQR ನಲ್ಲಿ Q=90, tan P = 1/√3, tan R = √3. sin P cos R + cos P sin R ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: P=30, R=60. sin(30+60) = sin 90 = 1.

Question 62

1. √[(1 + sin A)/(1 - sin A)] = sec A + tan A ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ವರ್ಗಮೂಲದ ಒಳಗೆ (1+sin A) ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಭಾಗಿಸಿ. √[(1+sin A)2 / (1-sin2 A)] = √[(1+sin A)2 / cos2 A] = (1+sin A)/cos A = 1/cos A + sin A/cos A = sec A + tan A.

Question 63

2. (sin θ - 2sin3 θ) / (2cos3 θ - cos θ) = tan θ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: ಅಂಶದಿಂದ sin θ, ಛೇದದಿಂದ cos θ ಹೊರತೆಗೆಯಿರಿ. = tan θ (1 - 2sin2 θ) / (2cos2 θ - 1). 1 - 2sin2 θ = cos2 - sin2. 2cos2 θ - 1 = cos2 - sin2. ಇವೆರಡೂ ಕ್ಯಾನ್ಸಲ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಉಳಿಯುವುದು tan θ.

Question 64

3. (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1 / (tan A + cot A) ಎಂದು ಸಾಧಿಸಿ.

Accepted Answer

ಪರಿಹಾರ: LHS = (1/sin - sin)(1/cos - cos) = (cos2/sin)(sin2/cos) = sin A cos A. RHS = 1/(sin/cos + cos/sin) = 1/[(sin2+cos2)/sin cos] = sin A cos A. LHS = RHS.

…

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ